[科普中国]-同余关系

同余关系的意义

设~为代数结构 的载体S上的等价关系，称~为s上关于一元运算△的同余关系(congruence relation)，如果对S中的任何元素a，b，

蕴含

称~为S上的关于二元运算* 的同余关系，如果对S中的任何元素a，b，c，d，

蕴含

当～关于 中一元运算△、二元运算* 均为同余关系时，便称～为 上的同余关系，等价类 _ 又称为同余类。

在同余关系的定义中，式( 蕴含 )还可以改为：对S中的任意元素a，b，c，

蕴含 且

同态与同余关系性质如果函数 是 到 的同态映射，那么h导出的S上如下定义的关系 ，必定是 上的同余关系：

定理1设h是 到 的同态映射，那么等价关系 是代数结构 上的同余关系。

同余关系的应用定义设S上的等价关系~为 上的同余关系，定义S/~上的一元运算@和二元运算 如下，对任意 ，

@

那么代数结构称为 的关于~的商代数(quotient algebra)。

定理2设为 的关于~的商代数，那么

(1)若 运算满足结合律、交换律，则 运算也满足结合律、交换律；

(2)若 运算有幺元e(零元o)，则 以 为幺元(以[o]为零元)；

(3)若 有关于 运算的逆元 ，则 有关于 运算的逆元[ ]。

在代数结构 与其商代数之间，存在一个有趣的同态映射，称为规范映射，定义如下：

定理3设~为 上的同余关系，那么规范映射 为 到其商代数的一个同态。

定理4设h为 到 的同态，~为h导出的 的同余关系，那么商代数与同态像 同构。2