[科普中国]-例外曲线

简介

代数曲面上的例外除子称为例外曲线(exceptional curve)。

设V是代数曲面， P∈V是一个曲面奇点。考虑(V,P)的奇点解消，σ：(W,E)→(V,P)，其中E是P的原像， 它是一条曲线（不一定不可约）。 我们就称E是例外曲线。

例外曲线必是负定曲线。它上面唯一确定了基本闭链Z，这个基本闭链Z反映了例外曲线的一些拓扑性质，从而也刻画了奇点P的性质。

例外子簇定义[exceptional subvariety]

代数闭域上代数簇X的闭子簇Y满足: 存在双有理态射f：X→X₁， Y在f下的像Y₁是维数较小的子簇，并且f:X\Y→X₁\f(Y)是同构。态射f称为Y到Y₁=f(Y) 上的收缩(contraction)。如果X，X₁，Y，Y₁是光滑不可约簇，则称Y为第一类例外子簇(esceptional subvariety of the first kind)。如果Y在X中的余维数是1,则称Y是例外除子(exceptional disvisor)。

应用例外子簇的概念能自然地推广到概形，代数空间和复解析空间上。对应态射称为收缩(contraction)。也能自然地推广第一类例外子簇的概念，复解析空间中的例外子簇亦称例外解析集(exceptional analytic set)。

刻画例外子簇是双有理几何学的基本问题之一，历史上第一个这样的刻画的例子是恩里克斯-卡斯泰尔诺沃准则(Enriques–Castelnuovo criterion)：光滑曲面X上不可约完全曲线Y是第一类例外子簇，当且仅当Y同构于射影直线P¹，且Y在X上的自交数(Y·Y) 等于-1。这个准则能推广到二维正则概形的一维子概形上。如果是光滑射影曲面X上具有不可约分支Yᵢ的任意连通完全曲线，则Y是例外除子的必要(但不充分) 条件是矩阵(Yᵢ·Y𝗃) 是负定的。在光滑复曲面上的连通复曲线，或者二维光滑代数空间上的连通完全曲线的情形，刻画例外子簇的类似条件是充分必要的。

在代数空间的情形下，例外性的最一般的准则是：在诺特代数空间的范畴中，X的子空间Y是例外子簇，当且仅当在形式代数空间的范畴中，形式完全化Y在X中是例外子簇。换句话说，代数子空间能收缩，当且仅当与之对应的形式完全化也能收缩。1