[科普中国]-自由边界问题

问题类型

对于一个偏微分方程的定解问题，如果所求区域的边界（部分或全部）不是事先给定的，而是与解有关，即在求解过程中与解同时决定，则称作用的定解问题为自由边界问题，其待定边界称为自由边界。在自由边界上，与通常的定解条件给法相比较，一般还要增加一个边界条件。所有自由边界问题都是非线性问题。

典例自由边界问题的一个典型例子是描述冻结过程的热传导问题。

另一个例子是紧绷在已知障碍上的膜平衡问题。记

其中， g 是已知障碍，f(x，y)是垂直方向的外力，u 是膜在垂直方向的位移。由最小位能原理知，并且。集合称为分离集，它的边界是自由边界。在这个自由边界上，u 满足边界条件。

自由边界问题的研究有广泛的实际背景。除了上述两类自由边界问题以外，在激波、渗流力学、等离子物理、塑性力学、射流等方面，都提出了各种不同形式的定常和不定常自由边界问题。自由边界问题的研究内容包括解的存在性、唯一性、正则性以及自由边界的正则性等。1