[科普中国]-射影直线

定义

在欧几里得直线上添加一个无穷远点后，所得的直线称为扩大直线（amplify line）或仿射直线（affine line）。若在扩大直线上，对无穷远点和有穷点不加区别，同等看待，则称这样的扩大直线为射影直线，也称为一维射影空间（one-dimensional projective space)。1

简介通俗的讲，射影直线是一条直线再添上一个无穷远点，组成的新“直线”。

确切的讲，就是射影空间中一条一维线性子簇（就是说，由一组一次齐次方程得到的解空间是一维的，这个解空间称为射影直线）。

射影直线是几何里最简单的完备代数簇。它也被称为有理曲线。

球面到射影平面有一个球极投影， 它把北极点映到射影平面的无穷远点，把球面上的圆环映到射影直线。在这个投影下，我们发现所谓的圆，椭圆，双曲线，抛物线，原来都是某条射影直线的一部分。 它们在球面上的原像都是圆环，只是因为所处的位置不同，所以投影在射影平面上，才会显得千差万别。 实际上都是同一个东西而已。这就有点像盲人摸象，只限于平面几何观点看这些曲线，觉得它们非常不同，但从射影几何观点下看，其实是一个东西的不同部分。

性质射影直线具有欧几里得直线截然不同的性质。

射影直线上的任何一点都不能把该直线分成两部分；

射影直线上任何两点都不能确定唯一的一条线段；

射影直线上任何三个点，也不能确定哪一个点介于另外点两点之间。