[科普中国]-超椭圆曲线

简介

超椭圆曲线是仿射曲线的非奇异射影模型，这里f(x)是一个没有重根的次数为奇数n的多项式（偶次数2k的情形可归结为奇次数2k-1的情形）。超椭圆曲线的函数域（超椭圆函数域）是有理函数域的二次扩张；从这个意义上讲它是除了有理函数域之外的最简单的代数函数域。

亏格为2的曲线必定是超椭圆曲线。 超椭圆曲线的曲线自同构群Aut(C)包含一个对合映射，从而诱导出到P¹的二次覆盖，对合映射的不动点恰好就是二次覆盖的分歧点。Aut(C)可以由P¹的曲线自同构群诱导出来。对于域K，亏格为g超椭圆曲线的基本形式是，其中f(x)为2g+1次多项式，h(x)是次数小于等于g的多项式。多项式的系数都在K上。

判定超椭圆曲线由二次除子的一堆线性系的存在性所判定。

这样的线性系定义了一个该曲线到射影直线上的二次态射。超椭圆曲线的亏格为时，对不同的奇数n这些超椭圆曲线不双有理等价。

当n=1时是射影直线；

当n=3时是椭圆曲线，按惯例亏格0和1的曲线不称为超椭圆曲线。

在亏格的超椭圆曲线上正则微分形式之比生成一个亏格0度子域；这一性质完全刻画了超椭圆曲线。1

应用超椭圆曲线在密码学中有很大的应用。

美国华盛顿大学教授Neal Koblitz首先发明了超椭圆曲线密码。超椭圆曲线密码是利用超椭圆曲线C的Jacobian上的离散对数问题(HECDLP)的“不可行性”。但是只有亏格为2的超椭圆曲线密码的安全性能和椭圆曲线密码的安全性媲美。无论是域K过小或者亏格g过大都会使得超椭圆曲线密码不安全。