[科普中国]-高斯定理

定理内容

设空间有界闭合区域 ，其边界 为分片光滑闭曲面。函数 及其一阶偏导数在 上连续，那么：1

或记作：

其中 的正侧为外侧， 为 的外法向量的方向余弦。

即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。

物理应用矢量分析高斯定理是矢量分析的重要定理之一。它可以被表述为：2

这式子与坐标系的选取无关。

式中

称向量场 的散度(divergence)。

静电学定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比：3

换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。

（当所涉体积内电荷连续分布时，上式右端的求和应变为积分。）

它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。

高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。

高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的平方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。

当空间中存在电介质时，上式亦可以记作3

式中 为曲面内自由电荷总量。

它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和 ，与自由电荷的分布情况无关，与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。对于各向同性的线性的电介质，如果整个封闭曲面S在一均匀的相对介电常数为 的线性介质中，则电位移与电场强度成正比， ，式中 称为介质的相对介电常数，这是一个无量纲的量。

更常遇到的是逆反问题。给定区域中电荷分布，所求量为在某位置的电场。这问题比较难解析。虽然知道穿过某一个闭合曲面的电通量，但这信息还不足以确定曲面上各点处的电场分布，在闭合曲面任意位置的电场可能会很复杂。仅有在体系具有较强对称性的情况下，如均匀带电球的电场、无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，使用高斯定理才会比使用叠加原理更简便4。

磁场磁场的高斯定理指出，无论对于稳恒磁场还是时变磁场，总有：3

由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。

静电场与磁场两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有磁单极子存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。

高斯定理延伸高斯定理2(代数学基本定理)

定理：凡有理整方程 至少有一个根。

推论：一元n次方程

有且只有n个根（包括虚根和重根）。

高斯定理3(数论)

正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件1为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。