[科普中国]-直线方程

简介

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

空间方向空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时，直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。

表达形式表达式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】

，

A1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行

A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合

横截距a=-C/A

纵截距b=-C/B

2：点斜式:y-y0=k(x-x0) 【适用于不垂直于x轴的直线】

表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线

3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】

表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线

4：斜截式:y**=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】**

表示斜率为k且y轴截距为b的直线

5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】

表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线

(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (x1≠x2，y1≠y2)

6：交点式:f1(x,y) *m+f2(x,y)=0 【适用于任何直线】

表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线

7：点平式:f(x,y) -f(x0,y0)=0【适用于任何直线】

表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线

8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】

过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度

9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)【适用于任何直线】

表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v ）的直线

10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】****

表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。

距离计算点到直线距离

点P(x0,y0)到直线Ι:Ax+By+C=0的距离

d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2

两平行线之间距离

若两平行直线的方程分别为：

Ax+By+C1=O Ax+By+C2=0 则

这两条平行直线间的距离d为：

d= 丨C1-C2丨/√（A^2+B^2)

求对称图形⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)

⑵点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：

( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )

⑶直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-2x0)-b

⑷直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法

求对称轴⑴两点的对称点：①求中点坐标

⑵两点的对称轴：①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式

⑶两条平行线的对称轴：①设P（x,y）在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)

⑷两条相交且不垂直的直线的对称轴：①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点④点斜式

求斜率⑴已知一条直线y=kx+b（k≠0），与另一条直线相交所成角度为α。

局限性各种不同形式的直线方程的局限性：

(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；

(2)两点式不能表示与坐标轴平行的直线；

(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；

(4)直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零。

回归直线方程在自然界和人类社会的各种现象中 ，同一过程中的变量之间往往存在着一定的关系 ．这种关系通常可以分为两类 ，一类是在微积分中已经详细研究过的函数关系 ，称为确定性关系 ；另一类是相关关系 ，称为非确定性关系 ．研究相关关系的一个有力工具就是回归分析 ，它是数理统计的一个重要分支 ，已经广泛应用于经济管理、决策分析、以及自然科学和社会科学等许多研究领域 ．回归分析包括建立回归直线方程以及利用回归直线方程进行预测和控制 。但是 ，如果变量不具有近似的线性关系 ，或者说变量不线性相关 ，那么建立的回归直线方程也失去其价值 ，预测和控制问题根本就没有意义 。

数理统计中的回归分析通常是通过所给的样本数据 （xi ，yi） ，i = 1,2, ，⋯ ，n画出散点图 ，利用最小二乘法估计回归系数 ，建立回归直线方程 ；通过 F检验法、t检验法或相关系数检验法来检验回归直线方程的显著性 ，进而对回归分析进行预测和控制。如果从相关系数的意义、性质以及相关系数与回归系数之间的关系入手求回归直线方程 ，就省去了画散点图 ，也省去了回归直线方程的显著性检验 ，更保证了建立的回归直线方程有价值 ，根据相关系数也便于求出回归系数 ，进而求出回归直线方程 1。

位置关系若直线L1:A1x+B1y+C1 =0与直线 L2:A2x+B2y+C2=0

1. 当A1B2-A2B1≠0时, 相交

2.A1/A2=B1/B2≠C1/C2, 平行

3.A1/A2=B1/B2=C1/C2, 重合

4.A1A2+B1B2=0, 垂直

直线的交点直线L1:ax+by+c=0和直线L2:dx+ey+f=0如果有交点P,

则P的坐标(x,y)为方程组

ax+by+c=0

dx+ey+f=0 的解

直线的旋转利用矩阵的旋转变换，我们可以得出以下的结论：2

对于直线l，

①当斜率存在时，直线 绕点 逆时针旋转α得到的解析式为:

特殊地，当绕的点为原点时，得到的解析式为:

特殊地，当k=0时，得到的解析式为:

特殊地，当k=0，且绕的点为原点时，得到的解析式为:

②当斜率不存在时，直线 绕点 逆时针旋转α得到的解析式为:

特殊地，当绕的点是原点时，得到的解析式为: