[科普中国]-贝努利试验

基本简介

假设我们进行一系列的实验，这些实验之间是与统计无关的，而且每个实验仅有两种可能的结果，设所有这些实验取得两个中的任一结果的概率都是一样的。例如，当投掷一个硬币时，那么可能的结果就是头像朝上和头像朝下。在理想的情况下，如果这些实验满足所说的条件，我们就称它为“贝努利实验”。1这种实验包含几次独立试验，且每次试验中只有两种可能结果：成功或失败；又被称为二次实验。2

重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变，“独立”的意思是指是指各次试验的结果是相互独立的，这种试验所对应的数学模型成为贝努利概型。有时为了突出实验次数n，也称为n重贝努利试验。

目标讨论贝努力试验最终的目的乃建立一模型，据此模型可求得当我们重复进行此种试验时，两种结果之一（成功或失败）可能出现的次数。

当某种试验连续且重复进行时，每一次重复的实验称为一个试验。此外，一个试验可能出现两个结果，分别称为成功（S）与失败（F）。再次特别强调的是，此种试验下只有两种可能结果，但并非取其成功或失败的字面上的意义。习惯上，将某研究中我们所关心的事件标记为成功（即使是一个悲惨的事件），例如，研究失业率的问题中，我们往往将失业的事件视为两种结果之一的“成功”事件。2

贝努利模型我们做n次实验。每次实验能以概率p出现事件A或者以概率q=1-p出现与A对立的事件 ，且这n次实验的秸果是相互独立的。我们指定数1代表事件A出现，数0代表事件 出现。在n次实验中，事件4可能出现0，1，2，…，n次。以X=k表示在n次实验中事件A恰好出现k次的事件，因此随机变数X能取值k=0，1，2，…，n。

这个随机数的概率函数可以表示如下：

因此二项分布函数是

其中和是对于所有小于x的非负整数k来求的。3

定理说明如果我们把贝努利试验中某种结果称为成功或是失败的，而且只是关心n次贝努利试验中总的成果次数，而不关心它出现的次序，那么在n次贝努利试验中，k次成功可以有 种方式分布。

如果每次成功的概率是p，那么失败的概率是q=1-p，出现k次成功的每一种方式的概率是 ，而表示这种成功的分布函数称为“二项式分布函数”。1

注意各个实验是独立的，说明某一次试验中成功的几率，并不受其它试验所获得讯息的影响；

每一次试验只可能出现两个结果，分别称为成功（S）与失败（F）2

定理n次贝努利试验中，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，k次成功和n-k次失败(0≤k≤n)的概率为：1

证明假设进行n次贝努利试验时，用n元组(a1，a2，a3，…an)表示结果，其中ai=S表示成功，ai=F表示失败，i=1，2，3，4，5，…，n。

由于n次试验是独立的，是由k次成功和n-k次失败组成的，所以每个n次实验结果的概率为 ，而由S和F构成的包含k个S和n-k个F的n元组有个，所以k次成功和n-k次失败(0≤k≤n)的概率为：

我们可以把成功概率为p，失败概率为q=1-p的n次独立的伯努利实验中有k次成功和n-k次失败的概率记为 ，且有 。1

应用一个工厂希望生产的产品中次品只有10%，采用的质量控制方法是由在40个产品的一次采样中计算次品的数目组成，经过400采样后，所得结果如下：

“成功”应该算是找到一个次品，这里我们计算每40个试验中成功的次数，因为“成功”的概率为p=0.1，虽然我们不能期望每次都正好有10%的次品，但是，这个分布符合二项式分布：

虽然400是一个比较少的采样数，但是实验证明理论和实际符合得相当好，下表所示是实际的数据，和理论的数据相符合。1