[科普中国]-狄利克雷定理

人物介绍

狄利克雷（1805～1859） Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。

在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。

在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1836年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。

在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。2

定理定义欧几里得证明了有无限个质数，即有无限多个质数的形式如2n+1。3

算术级数的质数定理：若a,d互质，则有

其中φ是欧拉函数。取d=2，可得一般的质数定理。

Linnik定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数a+nd中最小的质数少于c*d^L，其中L和c均为常数，但这两个常数的最小值尚未找到。

Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。

验证推导狄利克雷定理的证明依赖狄利克雷L级数，我们定义 如下：4

考察其对数形式为：

将上式分开写为：

易知：

在s=1处解析（因为绝对收敛）。

下面我们构造狄利克雷算术级数素数部分的和函数：

上式之所以成立是由狄利克雷特征的正交性决定的，将其改写为：

显然 当 时解析，当 时我们有：

因此我们有：

至此，我们已经证明了：5

故存在无穷多个素数 ，且其分布密度为 。