[科普中国]-素数定理

定理定义

素数定理是数论中的重要定理之一。指素数分布的中心定理。2

下面是对π(x)更好的估计：

, 其中 . 而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。 下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)

（如图所示）

素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(JacquesHadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，下式与黎曼猜想等价：

至于大O项的常数则还未知道。

在1948年, 塞尔伯格和保罗·埃尔德什首次给出素数定理的初等证明。3

发展历史大约在1792年，15岁的德国天才少年高斯(C.Gauss)经过深入分析和例证，猜想素数在自然数中的分布密度应该是(他提出的是积分形式)。差不多在同一时候，法国数学家勒让德(A.M.Legendre)通过数值计算，于1808年提出这样一个经验公式： 当x→+∞时，π(x)趋向于，这里的π(x)即不大于正实数x的素数个数。容易看到，高斯和勒让德提出的渐进公式是等阶的，实际上都等同于猜想π(x)～(不过高斯更深刻和精确)。这就是19世纪最著名的数学难题——素数定理。这个猜想是非常令人惊异的，因为素数在自然数中的分布可以说相当“杂乱无章”，但它竟然还能用这样简单的公式来描述！4

首先对素数定理的研究作出重要贡献的是俄国大数学家切比雪夫(P. Chebyshev)，他证明： 存在两个正常数C1和C2，使不等式≤π(x)≤对充分大的x成立，并且相当精确地定出了C1和C2的数值。他还证明，如果的极限存在，则必定是1。这些无疑都是很重要的进展，但遗憾的是，用切比雪夫的方法无法证明最后的结果。

1896年，两位年轻的数学家阿达马(J.Hadamard)和德·拉·瓦莱布桑(C. J. de la Vallée Poussin)按照大数学家、高斯的学生黎曼(B. Riemann)的思路，终于各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理，从而解决了这个有着一个世纪历史的难题。

1949年，两位年轻的数学家——31岁的赛尔伯格(A. Selberg)和35岁的爱多士(P. Erdös)分别独立地证明了素数定理。与以往证明不同的是，他们没有用到ζ函数，而且除了极限、e和logx的简单性质外，没有用到任何高等数学知识，甚至连微积分都没用到!可以说，他们给出的是一个完全“初等”的证明，这一结果轰动了整个数学界后来有人用1+x++…+代替e，用1++…+代替logx (n≤x)，给出了一个连指数、对数函数都不需要的初等证明。赛尔伯格由于这项成就及其他工作而获得了菲尔兹奖，爱多士则与陈省身一起获得了沃尔夫数学奖。

初等证明素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明由1949年由匈牙利数学家保罗·厄多斯（另译埃尔德什、艾狄胥、“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前

一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

验证推导除2、3之外，所有6n±1都可置于一条坐标上，将6n+1分布在左边，那么中心点为1，右侧为6n-1。反正则中心点为-1。坐标上的每个数字产生一条波形，未被覆盖的点就是素数。波长等于数字自身。5

将每条波形拆分，坐标左边和坐标右边形成两条波形，存在两个焦点，附图：