[科普中国]-斯特林公式

定义

斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。

斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长。近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、χ²分布证之。

形式

或更精确的

或

证明令

则

所以 即 ，即单调递减，又由积分放缩法有

即 ，即

由单调有界定理 的极限存在1，

设

利用Wallis公式，

所以

即

程序斯特林数判断阶乘位数#include

#include

#include

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const double e = 2.71828182845;

const double pi = 3.1415926;

int main(void) {

int t, i, f, v;

double a, s;

const double log10_e = log10(e);

const double log10_2_pi = log10(2.0*pi)/2.0;

while (scanf("%d", &t) != EOF && t) {

for (i = 0; i

scanf("%d\n", &v);

if (1 == v) {printf("1\n"); continue;}

a = v;

s = log10_2_pi + (a+0.5)*log10(a) - a * log10_e;

f = ceil(s);

printf("%d\n", f); } }

return 0; }