[科普中国]-卡尔曼

简介

鲁道夫·卡尔曼（Rudolf Emil Kalman），美国数学家、电气工程师。1930年5月19日生于匈牙利布达佩斯。1954年获马萨诸塞理工学院理学硕士学位；1957年获哥伦比亚大学理学博士学位。1955—1957年任教于哥伦比亚大学；1957—1958年到国际商用机器公司(IBM)实验室从事大系统计算机控制中应用数学问题的研究；1958—1964年在巴尔的摩的高级项目研究所(ResearchInstitute for Advanced Studies)从事数学与控制的基础研究工作；1964—1970年任斯坦福大学工程力学与电气工程教授；1971年以后任佛罗里达大学教授和数学系统理论中心主任；1973年以后兼任苏黎世工业大学数学系统理论教授。1994年被选为美国全国科学院院士1。

贡献卡尔曼提出了一种现称为卡尔曼滤波的新的滤波方法和能控性、能观性的概念，为20世纪50年代末至60年代初发展起来的现代控制理论作出了杰出贡献。他的工作直接针对着科学地理解现代工程中的创新过程(如已经知道的控制、计算机和信息等组织)。他的方法着重于数学概念，这种抽象方法对工程的实用价值，已为1963年美国宇宙飞船在卡尔曼滤波器导引下登上月球所证实。现在卡尔曼滤波器已被广泛地应用到时间序列分析、动态系统辨识、水文学及流体动力学，甚至经济领域。在卡尔曼之前，已有柯尔莫哥洛夫和维纳的统计滤波，目的是要根据过去的信息或事件预报未来。他们是从计算线性滤波器的随机输入输出函数协方差来达到这一目标的。维纳用到了维纳-霍普夫方程，而柯尔莫哥洛夫使用了比希尔伯特空间更抽象的东西。因理论和计算都很困难，没能产生重要的实际应用。1959年，卡尔曼重新表述了这一问题，引入了两个新的原理：只有在未来依赖于动态系统内对过去的贮存的情况下，预报才是可能的;预报器必须模拟它所预报的过程，所以预报器本身必须是一个动态系统。利用微分方程领域的新知识，他假定了要预报的动态过程已知但由于噪声的作用而模糊不清，并由此计算得到了最优滤波器的显式描述。因此卡尔曼滤波器不仅是在输入-输出意义上，而且是按运动方程的意义上给出的。稍后，布西利用和卡尔曼类似的假设得到了维纳-霍普夫方程的一个解，因此对线性系统的滤波方程又称为卡尔曼-布西滤波器。卡尔曼在对数学系统理论的研究中，提出了能控性的概念。在一个常系数线性常微分方程x=Ax+Bu(其中x为状态变量，u为控制向量)中完全能控当且仅当rank(B，AB，…)=dimx。他在1957年提出的这一简单的判别准则，解释了构造控制系统的所有直觉工程方法成功的原因。这一概念大大简化了控制系统的研究，并提供了有效手段;它在最优控制中起着重要作用。根据能控性与能观性的对偶概念，他证明了他的滤波理论在严格的数学意义上与最优控制理论是对偶的。

因以上的贡献，卡尔曼于1974年获美国电气与电子工程师学会(IEEE)荣誉奖章。他提出的一些概念、方法是现代控制理论和系统与控制实践的基石，已导致了系统理论的快速发展，而且现在已使用了微分方程、代数、几何等数学工具。因此卡尔曼在1986年获美国数学会的斯蒂尔奖。此外，1976年，他还获美国机械工程师学会的鲁弗斯·奥尔登堡格奖章;1985年获日本京都奖。他曾与人合作著有《数学系统理论问题》(Topics in Mathematical System Theory，1968)1。

卡尔曼滤波以前有一种状态估计方法称为维纳滤波，它在第二次世界大战期间得到了应用。其缺点在于：①必须使用全部的历史观测数据，存储量和计算量都很大;②当获得新的观测数据时，没有合适的递推算法;③很难用于非平稳过程的滤波问题。为克服上述缺点，在20世纪60年代初，美国数学家R.E.卡尔曼(R.E.Kalman)等人发展了一种递推滤波方法，即现称的卡尔曼滤波。

卡尔曼滤波，数学滤波的一种，是将所需要的信号从夹杂着噪声的信号中分离出来的一种状态估计方法。已知信号的动态模型与测量方程，利用观察到的随机矢量和初始条件，按线性无偏最小方差递推估计准则对系统的状态矢量所作的最优估计，是供信号检测或状态估计用的实时递推滤波。它的特点是在线性状态空间表示的基础上对有噪声的输入和观测信号进行处理，求取系统状态或真实信号。

这种理论是在时间域上来表述的，基本的概念是：在线性系统的状态空间表示基础上，从输出和输入观测数据求系统状态的最优估计。这里所说的系统状态，是总结系统所有过去的输入和扰动对系统的作用的最小参数的集合，知道了系统的状态就能够与未来的输入与系统的扰动一起确定系统的整个行为。

卡尔曼滤波不要求信号和噪声都是平稳过程的假设条件。对于每个时刻的系统扰动和观测误差（即噪声），只要对它们的统计性质作某些适当的假定，通过对含有噪声的观测信号进行处理，就能在平均的意义上，求得误差为最小的真实信号的估计值。因此，自从卡尔曼滤波理论问世以来，在通信系统、电力系统、航空航天、环境污染控制、工业控制、雷达信号处理等许多部门都得到了应用，取得了许多成功应用的成果。例如在图像处理方面，应用卡尔曼滤波对由于某些噪声影响而造成模糊的图像进行复原。在对噪声作了某些统计性质的假定后，就可以用卡尔曼的算法以递推的方式从模糊图像中得到均方差最小的真实图像，使模糊的图像得到复原。

卡尔曼滤波的性质及应用性质（1）卡尔曼滤波是一个算法，它适用于线性、离散和有限维系统。每一个有外部变量的自回归移动平均系统(ARMAX)或可用有理传递函数表示的系统都可以转换成用状态空间表示的系统，从而能用卡尔曼滤波进行计算。

（2）任何一组观测数据都无助于消除x(t)的确定性。增益K(t)也同样地与观测数据无关。

（3）当观测数据和状态联合服从高斯分布时用卡尔曼递归公式计算得到的是高斯随机变量的条件均值和条件方差，从而卡尔曼滤波公式给出了计算状态的条件概率密度的更新过程线性最小方差估计，也就是最小方差估计。

应用比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波)，也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑)。