[科普中国]-随机规划

简述

随机规划是把随机变量包含在数学规划模型中的理论和方法，它是数学规划的一个分支，可以根据数学模型求得问题的最优解，但这个最优解一般不是一个确定值而是一个期望值。在随机规划中，需对随机变量进行描述，分析其概率分布，往往还要考虑各随机变量的自相关和互相关，因而在理论上和求解方法上都比确定性规划复杂得多。

实际上，求解随机规划问题时，总是设法把它转化成确定性数学规划问题，再进行求解。如果随机变量的非确定性或者量的变化很小，对系统的性能不产生严重影响，可以用其数学期望代替这个非确定值，并用确定性方法求解；然后通过敏感性分析来估价非确定性因素对方案的影响程度。如果随机变量变化很大，用期望值可能使方案性能的评价受到很大影响，这时就要用随机规划方法求解。2

方法由于数学规划问题的类型有多种，在其中考虑到随机因素的影响，便可得到多种随机规划问题，如随机整数规划、多目标随机规划等等。把随机规划中的随机变量一般化为随机过程，借助鞅论、时间序列分析、马尔科夫链等理论又将极大地丰富随机规划的内容。

目前求解随机规划的方法很多。一种方法是在随机变量经过随机模拟之后，把随机规划转化为确定性的规划，应用确定性的非线性规划理论来求解。另一种是采用遗传算法、模拟退火算法、神经网络算法等智能优化算法。

样本均值方法SAA(sample average approximation scheme)也是一种近年来新兴的求解随机规划的方法，J．M．Mulvey和A．Ruszynski运用一种新的样本脚本分解的方法来解决大规模的随机优化问题。3

特点在随机规划问题中，当参变量变化时，依赖于参变量的决策变量是如何变化的，决策者虽不能得到它们之间的一个明显表达式，但总存在着一个用期望值表示的期望效用函数。所以在规划问题中的最优值是指期望最优值，例如目标函数表示利润或成本时，规划问题中找到的是最大利润期望值或最小成本的期望值。

在随机规划问题中，决策者往往不知道决策变量对随机参变量的效用函数，更不了解随机变量的概率分布，决策者往往是从目标函数的最优值存在的条件中，寻找决策变量的最优解集合。由于决策变量与目标函数都是作用于随机变量上，所以随机规划问题几乎都是非线性规划问题。在规划问题中，求解随机规划问题是规划论中最为困难的一问题。

当随机变量是某个区域上的连续变量时，这就是连续型的随机规划问题。除此之外，就是非连续型的随机规划问题。对于连续型的随机规划问题，存在着多个决策者在同一时间内的多个决策观点，但他们之间的观点相互独立，互不影响，我们可认定一个决策者在进行决策。后一个决策者的观点不受前一个决策者的观点左右，前一个决策者在作出决策之前，就可能观察到某些参变量的值。4

应用在随机规划应用以及随机决策系统建模方面，有丰富的研究成果。随机规划模型已成功用于下列方面：

对水库规划及运行进行研究；解决炼油厂的随机供给原材料和生产产品的销路问题；饲料混合问题，即选择四种原料进行混合得到一种混合饲料，在满足蛋白质和脂肪含量约束下，使总的费用达到最小；资产预算问题；开放存储网络问题，并结合网络中的最短路问题，最小费用最大流问题，对于网络上的订购量、运输量或放水量进行随机配流等。3