[科普中国]-曲线积分

引例

先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

定义设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧，f(x，y)在L上有界，在L上任意插入一点列 把L 分成 n个小弧段 的长度为ds，又 是L上的任一点，作乘积 ，并求和即 ，记λ=max(ds) ，若 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及 在L的取法无关，则称极限值为f(x，y)在L上对弧长的曲线积分，记为： ；其中f(x，y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

（上述定义并不完全严谨，给出新的定义）：在矢量场A中，任取一连接点P0与P1的光滑曲线c，此时向量OP0记作R0，向量OP1记作R1，用ΔR表示位于曲线C的切线上，以切点为始点而模 (其中ΔR为粗体）等于弧元ΔR的小矢量，作标积 ，A是ΔR始点的矢量， 是A在弧的切线 上的投影。将所有弧元ΔR的标积相加，并使弧元数量无限制增加且使得每一弧元长度趋向于0，求U的极限，所以 。称U为矢量A沿曲线c的曲线积分。

分类曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号1。

相关概念积分联系对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式，或者；这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（ ）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

量子力学量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。

复分关系如果将复数看作二维的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。根据柯西-黎曼方程，一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。

应用简介在各种保守力的场都是路径无关的，一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时，可以选择适当的路径进行积分，使得计算变得简单。如： 。