[科普中国]-正定矩阵

定义正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

对称正定矩阵设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。

Hermite正定矩阵设，若，对任意的，都有，则称A为Hermite正定矩阵1。

性质正定矩阵有以下性质：

（1）正定矩阵的行列式恒为正；

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

（3）A是正定矩阵当且仅当A是正定矩阵；

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

等价命题对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

（1）A是正定矩阵；

（2）A的一切顺序主子式均为正；

（3）A的一切主子式均为正；

（4）A的特征值均为正；

（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；

（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；

（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R2。

正定矩阵的充分必要条件(1)n 元实二次型正定它的正惯性指数为 n；

(2) 一个实对称矩阵 A 正定 A 与 E 合同，即可逆矩阵 C，使得；

(3) 实二次型是正定的 A的顺序主子式全大于零；

(4) 一个实对称矩阵 A 正定 A 的特征值全大于零；

(5) 一个实对称矩阵 A 正定 A 的主子式全大于零；

(6)A ，B 是实对称矩阵，则正定 A，B均正定；

(7)A 实对称矩阵， A 正定正定矩阵 B，使得，（k 为任意正整数）。

判别矩阵正定的方法根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵的应用对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。