[科普中国]-介值定理

简介

介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。1

这有个重要的推论：

如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在（博尔扎诺定理）；

定理介值定理说明如下。

考虑实数域上的区间 以及在此区间上的连续函数 。那么，

（1）如果u是在a和b之间的数，也就是说：

那么，存在 使得 。

（2）值域 也是一个区间，或者它包含 ，或者它包含 。2

与完整性的关系定理取决于，或者说等价于实数的完整性。 介值定理不适用于有理数Q，因为有理数之间存在无理数。 例如，函数 满足 。 然而，不存在有理数x使得 ，因为 是一个无理数。

证明该定理可以根据实数的完整性来证明：

我们将证明第一种情况， ，第二种情况类似。

让S是[a，b]中的所有x的集合，让 。S是非空的因为a是S的元素，并且b是S的边界。 因此，通过完整性，存在上限 。 也就是说，c是大于或等于S的每个元素的最小数。我们称 。

存在 。 由于f是连续的，当 时，存在 ，使得 。 这意味着

对于所有的 ，存在属于S的 ，使得

选择 ，这显然不会包含在S中，所以我们有

两种不等式

对于所有的 都是成立的，如我们所说，我们推导出 是唯一可能的值。

介值定理也可以使用非标准分析的方法来证明，这在非常严格的基础上提出了涉及无限小数的“直观”论证。 （见文章：非标微积分）

历史对于上面的u = 0，该声明也称为博尔扎诺定理。这个定理在1817年被伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）首次证明。奥古斯丁 - 路易·柯西在1821年提供了一个证据。两者的灵感来自于对约瑟夫·路易斯拉格朗日函数的分析正式化的目标。连续函数具有中间值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通过提供用于构造解的十进制扩展的算法，证明了多项式的介值定理（以立方为例）。该算法迭代地将间隔细分为10个部分，在迭代的每个步骤产生一个附加的十进制数字。在给出连续性的正式定义之前，将介值作为连续函数定义的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），没有跳跃的函数满足介值定理，并且具有尺寸对应于变量大小的增量。早期的作者认为结果是直观的，不需要证明。博尔扎诺和柯西的观点是定义一个连贯性的概念（就柯西案中的无限小数而言，在博尔扎诺案中使用实际的不平等），并提供基于这种定义的证据。

反介值定理是错的“Darboux函数”是具有“介值属性”的实值函数f，即满足介值定理的结论：对于f的域中的任何两个值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之间有一些c，f（c）= y。介值定理说每个连续函数都是一个Darboux函数。但是，并不是每个Darboux功能都是连续的；即介值定理的相反是错的。

例如，对于x> 0和f（0）= 0，取 定义的函数 在x = 0时连续，这个函数在x=0处不连续，但是该函数具有介值属性。

历史上，这个介值属性被建议为实数函数连续性的定义，但这个定义没有被采纳。

Darboux定理指出，由某些区间上某些其他函数的区分产生的所有函数都具有介值属性（尽管它们不需要连续）。

应用定理意味着，在世界各地的任何一个大环境中，对于温度，压力，高程，二氧化碳浓度来说，如果是连续变化的，那么总是会存在两个与该变量相同值的对映点。

证明：将f作为圆上的任何连续函数。在圆的中心绘制一条线，在两个相对的点A和B处与其相交。令d由差定义。如果线旋转180度，将取代值-d。由于介值定理，必须有一些中间旋转角，其中d = 0，因此在该角度。

对于任何封闭的凸n（n> 1）尺寸形状。具体来说，对于其领域是给定形状的任何连续函数，以及形状（不一定是其中心）内的任何点，相对于函数值相同的给定点存在两个对象点。证明与上述相同。

这个定理也是为什么旋转摇摆表将使其变得稳定的解释（受到某些容易遇到的限制）。3

特殊情况如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a