[科普中国]-异面直线

定义

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。空间两条直线的位置关系有三种，即相交和平行，这两种情况的两条直线在同一平面内。另外一种情况就是不相交也不平行称为异面直线。2

注意，以下关于异面直线的说法是错误的：

1．分别在两个平面内的直线是异面直线；

2．在空间不相交的两条直线是异面直线；

3．平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。3

相关概念1.两条异面直线所成的角

直线a、b是异面直线。经过空间任意一点o，分别引直线a'//a，b'//b。直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线a、b所成角的大小，只由a、b的相互位置来确定，与点o的选择无关(可以用等角定理来证明)。

2.两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线茫这两条异面直线问的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

异面直线a、b间的距离，也就是a和过b且平行于a的平面M间的距离。4

判定方法(1)定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内，常用反证法。

(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。5

例证：

判定定理：平面的一条交线与平面内不经过交点的直线互为异面直线。

已知：AB∩α=A，CD⊂α，A∉CD。求证：AB和CD互为异面直线。

证明：假设AB和CD在同一平面内，设这个平面是β。即A∈β，CD⊂β。

∵A∈α，CD⊂α，A∉CD

由不在同一直线上的三个点确定一个平面可知，α和β重合。

∵AB⊂β

∴AB⊂α，这与已知条件AB∩α=A矛盾。

∴AB和CD不在同一平面内，即AB和CD互为异面直线

（3）解析几何

设两条空间直线

则它们互为异面直线的充要条件是行列式

性质和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行。

异而冉直线的公垂线存在且唯一。

在两条异面直线上各任取一点，这两点形成的所有线段中这两条异面直线的距离最小。6