[科普中国]-曲率圆

定义

设曲线在点处的曲率为，在点处曲线的法线上凹的一侧取一点，使得，以为圆心，为半径做圆，这个圆就叫做曲线在点处的曲率圆，曲率圆的圆心叫做曲线在点处的曲率中心，曲率圆的半径叫做曲线在点处的曲率半径。

曲率圆与曲线在点有相同的切线和凹向以及相同的曲率，因而在点附近，曲率圆弧与曲线弧密切程度非常好，所以曲率圆又叫密切圆。1在实际问题中，常常用曲率圆在点邻近的一段圆弧来近似地代替曲线弧，使问题简化。

性质①曲率圆过点，且在点与曲线相切，即曲率圆与曲线在点有相同的切线。

②在点附近与曲线有相同的凹向。

③曲率圆的曲率与曲线在点的曲率相等。

曲率圆的位置和大小曲率中心曲率中心确定曲率圆的位置。

设函数在点处二阶可导，且，曲线在点处的曲率中心为，则

其中，。

曲率半径曲率半径确定曲率圆的大小。2曲率半径的大小是曲率的倒数，即