[科普中国]-概率逻辑

简介概述

在数学上，概率理论从17世纪起，经过B.巴斯加尔、P.费马、J.伯努利与P.-S.拉普拉斯等人的工作，到19世纪已趋向完整，并在科学技术中得到广泛应用。19世纪末20世纪初又逐步出现了概率演算的一些公理系统，其中苏联的A.N.柯尔莫哥洛夫在1933年提出的公理系统影响较大。

在逻辑上，由于引入形式化和数学的方法，到20世纪初演绎逻辑已发展得较为完善。B.罗素与A.N.怀特海在1910年完成的《数学原理》一书，可以看作是数理逻辑完善到一定程度的一项成果。

在哲学史上，D.休谟曾对归纳提出非难。以F.培根、密尔为代表的古典归纳主义面临严峻的挑战。实证主义、逻辑经验主义为了应付休谟提出的“归纳问题”，并能对科学理论给出相应的解释，便将归纳命题的证明问题改为“确证”问题，并以概率值作为确证的量度，于是在20世纪20年代出现了概率逻辑，剑桥的哲学家W.E.约翰逊最早研究过概率逻辑问题，但一般公认J.M.凯恩斯提出了概率逻辑的第一个公理系统。J.尼柯德、F.韦斯曼、H.杰弗里斯、G.H.von莱特和H.赖兴巴赫等人，都为建立概率逻辑做过有意义的工作。其中最有影响的是R.卡尔纳普在50年代的工作。

逻辑概率是由数学家莱布尼兹(Leibniz) 首创的，而系统地提出逻辑概率并为此建立起一个逻辑概率体系的，则首推凯恩斯( Keynes) 。 他把概率看作两组命题之间的逻辑关系的确定形式，如果预先知道观察实验材料或任何其它前提，则对于另一组假说归纳概括或任何似真的结论，可以赋予一定程度的概率。 他的理论体系是比较粗糙的，但由于他的首创性，为逻辑概率树起了历史的丰碑。 与凯恩斯持有同样观点的杰夫里斯 (Jeffreys) 则旗帜鲜明地推行逻辑概率，他直截了当地指出：概率所谈的不是频率而是逻辑关系。 他相信在大多数情况下，特别是在数理统计可以运用的场合，对概率是可以指定数值的。 而卡尔纳普( Karnap) 则继承了这两个人的思想，他认为，逻辑概率是一种逻辑关系，是有点类似于逻辑蕴涵的那种逻辑关系。卡尔纳普的观点一直广为流传，它揭示了概率与语义学之间的关系，表现出概率逻辑的实质。

概率逻辑系统在理论与实践中遇到很多困难。概率逻辑实质上是归纳逻辑的演绎化，但在方法论上也存在着问题，而且已在逻辑上提出过几种归纳悖论。从50年代以后，概率逻辑在现代数学、数理逻辑工具的影响下取得了多方面的进展，它日益与现代科学技术相结合，面临着新的突破。1

简史亚里士多德在论述归纳问题时曾提出过类似于概率的频率解释的思想。G.W.莱布尼茨则用三值(0,1,1/2)近似地刻划过概率的特性，并提出要将概率作为逻辑的一个分支。他甚至用概率和逻辑方法研究过波兰国王的选择问题。J.S.密尔在《逻辑体系》一书中，G.布尔在《论思维规律》一书中均用相当的篇幅讨论过归纳与概率的关系。可见归纳的研究在量度上是与概率相关的。

在数学上，从17世纪起，经过B.巴斯加尔、P.费尔玛、J.贝努利与 P.-S.拉普拉斯等人的工作，到19世纪已形成较完整的概率理论，并在科学技术中得到广泛应用。19世纪末20世纪初又逐步出现了概率演算的一些公理系统，其中苏联的Α.Н.科尔莫戈罗夫在1933年提出的公理系统影响较大。

在逻辑上，由于演绎逻辑引入形式化和数学的方法，到20世纪初已发展得较为完善。B.A.W.罗素与A.N.怀特海在1910年完成的《数学原理》一书，可以看作是数理逻辑完善到一定程度的一项成果。

在哲学史上，D.休谟曾对归纳提出非难。以F.培根、密尔为代表的古典归纳主义面临着严峻的挑战。实证主义、逻辑经验主义为了应付休谟提出的“归纳问题”，并能对科学理论给出相应的解释，便将归纳命题的证明问题改为“确证”问题,并以概率值作为确证的量度,于是在20世纪20年代出现了概率逻辑。剑桥的哲学家W.E.约翰逊最早研究过概率逻辑问题，但一般公认J.M.凯恩斯提出了概率逻辑的第一个公理系统。J.尼柯德、F.韦斯曼、H.杰弗里斯、G.H.von莱特和H.赖兴巴赫等人,都为建立概率逻辑做过有意义的工作。其中最有影响的是R.卡尔纳普在50年代的工作。1

相关内容一般结构概率逻辑有不同的系统，但其中的大多数在结构上具有一些共同特点。一般是先给出一个概率演算的公理系统，然后对形式的概率定义和系统给出类似对形式系统给出的语义解释，再以此对归纳推理加以处理，其中所用到的概率演算工具主要是贝叶斯定理与贝努利定理。2

公式凯恩斯在1921年给出的概率逻辑系统中，将命题a及其前提 h间的概率关系p记为a/h=p。该系统给出的初始定义有19条，并有 7条公理。但这个系统是不够严格的。莱特在40年代给出的概率演算公理系统共有6条公理:①命题p对于另一命题h的概率度是唯一的，用p/h表示；②0≤p/h≤1；③若h→p，则p/h=1；④若h→p，则p/h=0；⑤p∧g/h=p/h×g/p∧h=g/h×p/g∧h；⑥p∧q/h=p/h+q/h-p∧q/h。其中 ⑤与 ⑥分别为乘法定理与加法定理。贝叶斯定理与贝努利定理可以由引理中给出。2

解释对概率公理系统所给出的解释，凯恩斯用集合间的关系即证据集与假设集间的关系解释概率度。在他所给出的符号P(a/h)=1/b中，概率值1/b为集合a、h之间的关系。但由于他对这种关系的涵义与处理不清楚，因而他的解释存在着严重缺点。赖兴巴赫则用相对频率解释概率，认为作为证据的命题序列 A与作为假设的命题序列 B之间存在着概率蕴涵的关系，并用AЭB表示之。Э是作为初始符号引入的，故(P(A,B)=p)=df(AЭB)，p表示概率值。他指出，一归纳推理的命题是成立的，实质上是指有关命题序列存在着一定的频率极限值，亦即满足一定的概率值。在他看来，归纳推理是一种与概率度相关的渐近认定 (posit)，其取值与多值逻辑相关，但在给出某种公界值的条件下可化归为二值逻辑。卡尔纳普在50年代强调要区分概率1与概率2,前者为逻辑概率，即归纳概率或确证度，用C 函数表示，C(h,e)=p表示证据e对于假设h的确证度，其值为概率p；后者为概率的频率解释，但他并不采纳。他对概率给出的是一种语义解释。他遵循演绎逻辑的方法，先给出带等词的一阶逻辑系统L，再在取自然数域的N上，将用以完全描述给定个体域的一切可能状态的语句集定义为状态描述，任一语句的取值由它所满足的状态描述确定。由此经过一定处理,该语句的值域就可用外延方法确定，并以量度函数 M量度。这样，C由M确定，即C(h,e)=M(h∧e)/M(e),当M(e)≠0；否则C(h,e)无定义。因此，归纳命题是指e对h的部分蕴涵。2

结论由此表明，卡尔纳普是彻底地用演绎逻辑与外延方法处理归纳逻辑问题的。在对概率公理系统的解释方面，还有一种概率的主观解释，这是与归纳过程中必然存在主观因素相关的。这方面的研究与信念、决策论等有关。

概率逻辑系统在理论与实践中遇到很多困难。概率逻辑实质上是归纳逻辑的演绎化，但在方法论上也存在着问题，而且已在逻辑上提出过几种归纳悖论。从50年代以后，概率逻辑在现代数学、数理逻辑工具的影响下取得了多方面的进展，它日益与现代科学技术相结合，面临着新的突破。2

概率逻辑的价值及其应用概率逻辑中有的理论已经得到了实际的应用，比如主观主义学派的理论被用来处理决策问题，形成了贝叶斯决策理论。 逻辑主义学派理论的意义主要不在于实际应用，而在于理论上的价值。这些理论为归纳法的合理性提供了逻辑的支持，从而为经验科学的合理性奠定了逻辑基础。但是理论和应用之间并没有绝对的界限。国内人工智能界有学者用卡尔那普的理论来解决机器学习中的问题，使这一理论向实际应用方面迈进了一步。

如上所述，由于还没有找到完全令人满意的概率解释，所以完全令人满意的概率逻辑系统则无处寻觅。但是，各种概率解释的互补性，各种概率逻辑系统的特殊性，使人们可以把握更多的“工具”，针对实际问题给予综合
的、充分的运用。1