[科普中国]-算术基本定理

历史

算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。它所体现的唯一因子分解的思想，在现代交换环理论中起着非常重要的作用。唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质： “存在性和唯一性”。所谓“存在性”就是指一个元素可以分解为有限多个不可约因子的乘积；“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的。唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算术基本定理。

算术基本定理：任何一个大于 1 的自然数可以分解成一些素数的乘积；并且在不计次序的情况下，这种分解方式是唯一的。算术基本定理起源很早，但将其提炼、明确表述成一条定理，使其在初等数论中获得基础性的地位，却经历了一段较长的时间。

欧几里得（Euclid，约公元前 300 年）是古希腊亚历山大时期著名的数学家，希腊论证几何学的集大成者， 其所著《原本》（在我国通常称为《几何原本》）在数学史、科学史、乃至人类文明史上是一部划时代的杰作，从它问世之日起，备受人们推崇，直至今日，已用世界各种文字发行了 1000多版，被誉为西方科学的“圣经”。在《原本》中，欧几里得运用公理化的方法对当时的数学知识进行了系统化和理论化的总结，形成了数学史上第一个演绎数学的公理化体系，对其后数学的发展产生了深远的影响。

在现在的初等数论教材中，通常都将算术基本定理作为一条基本定理看待：即首先给出素数的定义，接着就证明唯一素因子分解定理——算术基本定理，然后再在此基础上讨论互素数和最大公因数的性质以及其它的数论问题。1

定理定义任何一个大于1的自然数 ，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 ，这里 均为质数，其诸指数 是正整数。

这样的分解称为 的标准分解式。2

验证推导算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。而以下是用现代的陈述方式去证明。

存在性待证命题：大于1的自然数必可写成质数的乘积。

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

非零自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n大于1。其次，n不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个小于自身而大于1的自然数的积。设其中a和b都是介于1和n之间的自然数，因此，按照n的定义，a和b都可以写成质数的乘积。从而n也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。2

唯一性欧几里得引理：若质数p|ab，则p|a或p|b。

证明：若p|a则证明完毕。若否，p和a的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在整数对(m,n)使得ma+np=1。于是b=b(ma+np) =abm+bnp。

由于p|ab，上式右边两项都可以被p整除。所以p|b。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n是最小的一个。

首先 不是质数。将n用两种方法写出：

根据引理，质数

所以 中有一个能被 整除，即 中有一个能被 整除。不妨设为 。但 也是质数，因此 。

假设 ，则 。那麽，按照之前类似的论证， 有一个能被 整除，但 。所以不能有 ，同理，也不能有 ，因此 。

两边相除得 ，於是一个存在比 小的正整数，可以用多于一种的方式写成多个质数的乘积。

这与 的最小性矛盾。

因此唯一性得证。2

定理应用（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为： ，那么它的正因数个数为 。

（2） 它的全体正因数之和为 。

当 时就称N为完全数。 是否存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想。

（3） 利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子 和最小公倍数 ， 并证明 。

（4）此外还可证明根号2是无理数等等。

（5）证明素数个数无限。3

定理推广此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。 高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。 它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。3