[科普中国]-悬链线

历史发展问题的起源

达·芬奇不仅是意大利的著名画家，他画的《蒙娜丽莎》带给了世界永恒的微笑，而且他还是数学家、物理学家和机械工程师，他学识渊博，多才多艺，几乎在每个领域都有他的贡献，他还是数学上第一个使用加、减符号的人，他甚至认为：“在科学上，凡是用不上数学的地方，凡是与数学没有交融的地方，都是不可靠的”。他本人在创作《蒙娜丽莎》时，认真地研究了主人公的心理，做了各种精确的数学计算，来确定人物的比例结构，以及半身人像与背景间关系的构图问题。当我们欣赏着他的《抱银貂的女人》中脖颈上悬挂的黑色珍珠项链时，我们注意的是项链与女人相互映衬的美与光泽，而不会像达·芬奇那样去苦苦思索这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？

这就是著名的悬链线问题，达芬奇还没有找到答案就去世了。

发展从外表上看，悬链线真的很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。直到几十年后，雅各布·伯努利再次提出这个问题。

解决问题与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。

但遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后，雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰·伯努利发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不可能算是一个谦和的胜利者，因为他后来回忆说：

我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）……没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息……不过第二天早晨，我就满怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。

可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一种“奇耻大辱”。

等高悬链线标准方程

其中，a为常数，是曲线顶点到横坐标轴的距离。1

表达式的证明如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，AB段绳子的质量为m,显然B点受力平衡，进行受力分析有：

m=σs ，其中s是右段AB绳子的长度，σ是绳子线密度，即单位长度绳子的质量。代入得微分方程 （式1）；再利用勾股定理 得到式（2）：

将（2）式代入（1）式得式（3）：

不妨做一次变量替换，令： ，得到如下方程：

为了将积分符号去掉，对上式两边对x求导：

接下来变量分离并两端进行积分：

由于 ，所以上面的积分的解为（式4）：

（注意，指数-1表示的是反函数，而不是倒数。）

下面确定C的值。显然，当x=0时，y'=0，即p=0，所以将该初值条件代入我们得到的解，因为 ，解得C=0。下面给出反双曲正弦的图像以加强直观认识。

然后利用反函数的性质，在（4）式的两边取双曲正弦：

对上式变量分析并积分：

于是得到最终的解：

上式中的C一般保留，它会随着坐标系选择的不同而取不同的值。

悬流体方程（1）微分方程为 ，方程解为：

以下是不同a的曲线族。方程原理同悬链线一样。不同的是其表面张力分量必须等于悬挂部分的重力。

垂直方向的流体必须考虑悬流体部分，此部分不是自由流动的流体，其完全受表面张力作用。

如果张力仅仅能够维持自身旋转体重量时，摩擦阻力不考虑。

（2）垂直管道中，或者空气柱内，摩擦阻力与y正比，反重力方向，则微分方程为：

此类如同自然水管龙头的低速流体，但是它需要一个水平方向的张力作用，大小等于ky，第一类与二类均需要。

（2）水平转换张力球，水龙头如果开到很小，会发现，在最底端，水是以一个一个的小球发出，而这个小球就是张力球，水按照一定频率从悬流体中流出，而不是连续的流体，与量子力学基本相通，微分方程如下：

解出方程为：

方程是圆球。

悬膜壳或者悬流体膜微分方程为：

利用积分程序绘图如下：

工程中的应用悬索桥、双曲拱桥、架空电缆、双曲拱坝都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用，a称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

还有以下几个公式，可能也有用：

其中L是曲线中某点到0点的链索长度，α是该点的正切角，F0是0点处的水平张力，γ是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

相关公式双曲正弦的导数：

双曲余弦的导数： ；

反双曲正弦的导数：

反双曲余弦的导数：