[科普中国]-旋转曲面

定义

定义：如图1所示，在空间，一条曲线Г绕着定直线 l旋转一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。曲线Г叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲面的旋转轴，简称为轴。母线上任意一点绕旋转轴旋转的轨迹是一个圆，称为旋转曲面的纬圆或纬线。以旋转轴为边界的半平面与旋转曲面的交线称为旋转曲面的经线。

说明：

（1）纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线；

（2）旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线；

（3）任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。

曲面方程求旋转曲面的方程

如图1所示，在空间直角坐标系下，设旋转曲面的母线为：

旋转轴为直线：

设点 为Г上任意一点， 为 l 上任意一点。

过 的纬圆方程为：

又因为 在母线上，满足母线的方程，有：

联立上述两个方程组消去参数 ，最后得一个三元方程 ，即为以Г为母线， l 为旋转轴的旋转曲面的方程。

旋转曲面方程

设在yoz面上的一条已知曲线C，它的方程为：

曲线C绕z轴旋转一周，得旋转曲面，旋转过程如图2所示。设 是曲线C上任一点，M(x,y,z)是点 绕z轴旋转所得的任一点，则：

(1) ；

(2) 点M(x, y, z)到z轴的距离为：

将 代入曲线C的方程 ，得旋转曲面的方程为：

该方程就是yoz坐标面上的已知曲线 绕z轴旋转一周的旋转曲面方程。

同理，xoz坐标面上的已知曲线 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为：

特殊旋转曲面

旋转双曲面对于双曲线：

绕z轴旋转，得旋转曲面：

绕x轴旋转，得旋转曲面：

旋转椭球面对于椭圆：

绕y轴旋转，得旋转曲面：

绕z轴旋转，得旋转曲面：

旋转抛物面对于抛物线：

绕z轴旋转，得旋转曲面：

面积计算旋转曲面的面积

设平面光滑曲线 C 的方程为 （不妨设f(x) ≥0）这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面，如图3所示。则旋转曲面的面积公式为：

如果光滑曲线 C 由参数方程：

给出，且 y(t) ≥0，那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积为1：

创建旋转曲面

用CAD模块中的工具，画一条截面线以及用于确定旋转轴的两个标志可以产生一个旋转曲面。选择的次序为先选截面线，再选标志点，然后再点击创建旋转面图标，屏幕上弹出创建旋转曲面对话框。通过使用缺省项，将产生上半个旋转曲面。点击对话框中所需按钮来产生下半个，左半个或右半个，或者整个旋转曲面。(以360°整个曲面表示)。您也能制作一个局部旋转的曲面，在对话框中点击这个图标：输入曲面的起始角度及终止角度。

例如：

1/2凹面: 180° 到 0°

1/2凸面: -180°到 0°