[科普中国]-加法原理

原理介绍

加法原理是分类计数原理，常用于排列组合中，具体是指：做一件事，完成它可以有 类方法，在第一类方法中有 种不同方法，在第二类方法中有 种不同方法，……，在第 类方法中有 种不同方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。1

乘法原理做一件事，完成它需要分成 个步骤，做第一步有 种不同方法，做第二步有 种不同方法，……，做第 步有 种不同方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。1

联系加法原理和乘法原理是两个基本原理，它们的区别在于一个与分类有关，另一个与分步有关。运用以上两个原理的关键在于分类要恰当，分步要合理。分类必须包括所有情况，又不要交错在一起产生重复，要依据同一标准划分；而分步则应使各步依次完成，保证整个事件得到完成，不得多余、重复，也不得缺少某一步骤。1

例题分类计数原理、分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。两者区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。两个计数原理渗透了“以简驭繁、化难为易”的基本思想。2

简单问题例1.如图，从甲地到乙地有两条路可走，从乙到丙地有条路可走，又从甲地不经乙地直达丙地有条路可走，问从甲地到丙地的不同走法有几种？

解：

第一类从甲直接到丙的有3种，第二类从甲经乙到达丙的有种，因此从甲到丙地有种不同的走法。

例2.书架上有不同的数学书5本，不同的物理书4本，不同的化学书3本。

（1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）从中每种各取一本，有多少种不同的取法？

分析：

（1）因为从数学、或从物理、或从化学这三类书的任一类中任取一本，都可一次性独立完成“从中任取一本”这件事，即可分类完成，因此可用加法原理。

（2）因为在这里不能一步到位，而需分三步进行才能完成。也就是在5本数学中取一本，还要从4本物理书与3本化学中各取一本，才能完成这件事，因此用乘法原理。

解：

（1）由加法原理，共有种不同的取法

（2）由乘法原理，共有种不同的取法1

有关数字问题例3. 用0-9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的4位偶数?

分析：

这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字0不能排成在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8

从限制条件人手，可划分如下：

如果从个位数人手，4位偶数可分为：个位数是0的4位偶数；个位数是2、4、6、8的4位偶数(0不能放在千位数上)；

如果从千位数入手，4位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类。

如果4位数划分为4位奇数和4位偶数两类，先求出4位奇数的个数，用排除法可得解。

解：

当个位数上排0时，千位、百位、十位上可以从余下的9个数字中任选3个来排列，故有 个；当个位在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的8个非零数字中任选1个，百位、十位上再从余下的8个数字中任选2个来排，按分步计数原理有 个

数字排列问题对培养学生分析问题、解决问题的能力大有好处，本题是典型的具有简单条件的排列问题，上述解法是最基本、最常见的解法，要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用。2

关于工作分配问题例4. 在奥运会的开幕式表演期间，某一安检部门有6种不同工作要分配给6人担任，每个人只担任一种工作，且甲不能担任其中某2种工作，问有几种分配方法?

分析：本题是排列组合中的一道典型问题，根据题意“甲不能担任其中某2种工作”，其基本解法有直接法、排除法等。

解：

先满足特殊元素甲，甲能担任的工作有4种，先分配甲，分配后，余下工作由其余5人分担，有 种分担方法，故共有分配方法数 2