[科普中国]-无穷级数

概述

无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。1

算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。2

历史英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，印度喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。研究人员说，一个极有说服力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。“无穷级数”可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。

约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics）的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。他说：“现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪）印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦（Madhava）和尼拉坎特哈（Nilakantha）的名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。”3

实用幂级数

约瑟夫表示：“喀拉拉学校所做的贡献未能获得世人的承认有很多原因，其中一个最重要的原因便是对非欧洲世界的科学发现漠然视之的态度，这种做法无疑是对欧洲殖民主义在科学领域的一种延续。此外，对于中世纪的喀拉拉语、马拉雅拉姆语等印度当地语言的形态，外人可以说是知之甚少，而诸如《Yuktibhasa》等一些最具有开创性的著作却又偏偏使用了这些语言。《Yuktibhasa》的大部分篇幅都用来阐述产生重要影响的无穷级数。”他指出：“我们真的无法想象，西方社会能够抛弃奉行了500年之久的传统，从印度和伊斯兰世界‘进口’学识和著作。但我们还是发现了强有力的证据，例如，由于当时的欧洲耶稣会士曾造访这一地区，所以他们有很多收集相关信息的机会。更为重要的是，这些耶稣会士不但精通数学，同时也精通当地的语言。

约瑟夫说：“他们之所以这么做实际上有很大的动机：教皇格雷戈里八世组建了一个委员会，专门负责为罗马的儒略历实现现代化。这个委员会的成员包括德国耶稣会士、天文学家兼数学家克拉维乌斯，他曾多次要求获得世界其它地区的人如何打造历法的信息，而喀拉拉学校无疑在这一领域扮演着领导者的角色。”他表示：“类似地，人们对更有效的导航方式的需求也变得越发强烈，包括在探险之旅中如何保持时间的准确性。此外，致力于天文学研究的数学家也可凭借自己的努力获得大奖。因此，欧洲重要的耶稣会研究人员的足迹便开始遍布全世界，以获得相关的知识和信息，而喀拉拉学校的数学家无疑是这一领域的大师。王巴S”

记号若有一个无穷数列

此数列构成下列表达式

称以上表达式为常数项无穷级数（infinite series），简称级数，记为

其中第项叫做级数的一般项或通项。4

一般而言，我们有

性质无穷级数具有以下性质：

1 、级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。

证：

2 、若有一个无穷级数 ：每一项乘以一个常数，则其和等于。即

3 、收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：,

则,这可由极限的加减法性质推出

4 、级数中去掉或加上或改变有限项不影响其收敛性，

如： 和这两个级数的敛散性是一样的，但极限值不一定相等。

5 、收敛级数的部分和数列的子数列也收敛（逆否命题也成立），并且其和就是原级数的和；若收敛，则未必收敛。

6、 3的推论：如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的。注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论。

7、 5的推论：若级数 收敛，则收敛，其所对应的新的级数（通项：）必收敛（逆否命题也成立）；若仅收敛，则级数未必收敛。

幂级数一个任意项级数，如果由它的各项的绝对值所得到的级数收敛，则原来的级数也收敛，如果发散，则原来的级数不一定也发散，如果反而是收敛，则称这种级数为条件收敛的。实际上，条件收敛的级数，可以通过变换级数各项的顺序而使得这个级数收敛于任意实数，也能发散至无穷大。5

收敛半径和收敛区间级数的每一项也可以是函数，这种级数称为函数项级数。

这里我们讨论一种特定的函数项级数，即由如下形式的幂函数组成的级数，称为幂级数。

也可以直接写成。幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛；反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。

设对于幂级数的系数，有，其中为有限数值或者是无穷大。进一步使，利用根值审敛法，就有如下结果：

⑴ 如果，则在时，幂级数绝对收敛，而时，幂级数发散。因此，此时幂级数的收敛半径为。

⑵ 如果，则对于任意的x，幂级数都是绝对收敛的。因为此时，小于1。这时可以认为幂级数的收敛半径为无穷大。

⑶ 如果为无穷大，则幂级数只在x=0处收敛，而取任意非零的数值时，级数都是发散的，因此可以认为幂级数的收敛半径为0。

对於形如的幂级数，类似地，也可以根据根值判别法的极限形式，得到相同的结论。求出幂级数的收敛半径以后，即可得到相应的收敛区间和收敛区域。

幂级数的微分、积分、连续性对于一个幂级数，如果它的收敛半径大于0，那么在它的收敛区域内，就得到了一个确定的以这个收敛区域为定义域的函数，为这个幂级数的和函数，自然，对于这个和函数也应该能够应用微积分的方法加以研究。

首先是对和函数的求导：

如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在(-r，r)上必定可积，并且导函数为。和函数的可微区间是开区间，因为即使和函数在这个区间的端点可能有定义，这个定理也不能保证和函数在端点处具有可微性。

和函数还具有连续性：如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在其定义域上连续。对于连续性，定理强调的是在它的定义域上，也就是包括有定义的端点。连续性也就意味着可以对幂级数逐项求极限。

展开式幂级数展开式泰勒公式：

实用幂级数

傅立叶级数三角级数（傅立叶级数、三角级数）

洛朗级数洛朗级数（Laurent series）复变函数内解析函数的洛朗展开。

泰勒级数是洛朗级数的特殊形式。

发散性质首先我们只是考虑级数的敛散性的问题，也就是存在性问题，而不是如何求极限的问题。关于无穷级数的敛散性，有如下的基本性质：

任意改变一个级数的任意有限个项的值，都不影响这个级数的敛散性。原因很显然，只要对一个级数所作的改变是有限的，就不能使得这个级数，由趋向于无穷而变得趋向于有限，也不能使得这个级数由趋向于有限而变得趋向于无穷，或者是由根本不存在任何极限，而变得出现极限。6

判别法正项级数及其敛散性

如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。

正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：

正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。

有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

比较比较审敛法：

⑴一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。

⑵反之，一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都大于或等于一个已知发散的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定发散。

如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数和 ，如果 ，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。

积分对于正项级数如果存在一个单调下降连续函数f（x），有，那么级数与广义积分具有相同的敛散性。

比值达朗贝尔判别法：

设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且如果有，a是某个实数，那么这个级数收敛。反之，如果从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且有，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：若，则级数发散；若，则级数收敛。如果，则本判别法无法进行判断。

根值根值审敛法：

对于正项级数，如果从某一个确定的项开始，都有，则级数收敛，反之，如果从任何给定的项之后，都存在一项满足，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：设正项级数从一个确定的项以后，，则级数绝对收敛。若，则级数发散。若非以上两者，则本判别法无法进行判断。

绝对收敛实际上针对正项级数的敛散性判别法的有效范围还可以扩大，也就是说，还可以用于判断更多的级数是收敛的。这是通过引入绝对收敛的概念而得到的。

如果我们把一个任意项的级数的每一项都取绝对值，那么就得到了一个正项级数，如果这个正项级数是收敛的，那么这个任意项级数就被称为是绝对收敛的。

给出绝对收敛这么一类任意项级数的好处，就在于：

一个级数如果是绝对收敛的，那么也就一定是收敛的。

绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性，还具有如下的性质：

如果把任意项级数的所有正项都保持不变，而所有负项都更换为0，那么就得到一个正项级数 ；如果把它的所有负项都改变符号，而正项都更换为0，则得到另一个正项级数 ，然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件，为正项级数与都收敛。从这个性质能够得到一个推论，即：如果任意项级数绝对收敛，就有。

作为加法交换律的一个推广，对于正项级数，如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，同样，对于绝对收敛级数也有这样的性质。

不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质：

如果两个任意项级数都绝对收敛，那么它们的各项的乘积，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛，并且和为两个任意项级数的和的乘积。

交错级数考虑一种特别的级数形式，即相邻两项的符号相反，称为交错级数。交错级数具有一个简单的性质：

如果为一个单调递减数列，并且以0为极限，那么通过改变这个数列相邻两项的符号而构造的两个交错级数都收敛。

这种级数称为莱布尼兹级数。