[科普中国]-估计量

定义

用来估计总体未知参数用的统计量。

当经测定的具体数值代入估计量时，它就是一个具体的数值，称为估计值，英文是estimator。

设(X1,……,Xn)为来自总体X的样本，(X1,……,Xn)为相应的样本值，θ是总体分布的未知参数，θ∈Θ。

Θ表示θ的取值范围,称Θ为参数空间.尽管θ是未知的,但它的参数空间Θ是事先知道的.为了估计未知参数θ,我们构造一个统计量h(X1,……,Xn)，然后用h(X1,……,Xn)的值h(X1,……,Xn)来估计θ的真值，称h(X1,……,Xn)为θ的估计量。

假设存在一个固定的待估参数。那么"估计量"是样本空间映射到样本估计值的一个函数。的一个估计量记为。很容易用随机变量的代数来阐述这个理论：因而如果用X来标记对应观测数据的随机变量，估计量（本身视为随机变量）的符号表示为该随机变量的函数，。对特定观测数据集（即对于X=x）的估计值为一固定值。通常使用简化标记，用表示随机变量，不过这会造成误解。

量化特性以下定义和属性是相关的。

误差对于一个给定样本x，估计量的"误差"定义为

其中是待估参数。注意误差e不仅取决于估计量（估计公式或过程），还取决于样本。

均方误差估计量的均方误差被定义为误差的平方的期望值，即为：

它用来显示估计值的集合与被估计单个参数的平均差异。试想下面的类比：假设“参数”是靶子的靶心，“估计量”是向靶子射箭的过程，而每一支箭则是“估计值”（样本）。那么，高均方误差就意味着每一支箭离靶心的平均距离较大，低均方误差则意味着每一支箭离靶心的平均距离较小。箭支可能集聚，也可能不。比如说，即使所有箭支都射中了同一个点，同时却严重偏离了靶子，均方误差相对来说依然很大。然而要注意的是，如果均方误差相对较小，箭支则更有可能集聚（而不是离散）。

一致性一致估计量序列是一列随着序号（通常是样本容量）无限增大时依概率收敛于被估量的估计量序列。换句话说，增加样本容量增大了估计量接近总体参数的概率。1

在数学上，一个估计量序列{tn;n≥ 0}是参数θ的一致估计量当且仅当对于所有ϵ> 0，不管多小，我们都有

就如，一个人不断地抛硬币，随着次数的增多，任何一面出现的概率（机率）就会趋于0.5。那么这个0.5就是这个抛硬币事件中任何一面出现概率的一致估计量，或者说一致估计值。