[科普中国]-龙格库塔法

经典四阶法

在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。1

令初值问题表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中

这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

k1是时间段开始时的斜率；

k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn+h/2的值；

k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；

k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

显式法显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出1

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义）。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数aij（对于1 ≤j