[科普中国]-最大模原理

定义

在复分析中，最大模原理说明如果单变量复变函数f是一个全纯函数，那么它的模的局部最大值不可能在其定义域的内部取到。1

换句话来说，全纯函数f要么是常数函数，要么对于任意的在其定义域之内的z0，都存在一个足够靠近它的点z，使得f在后者上的取值的模 |f(z)| 比 |f(z)0| 更大。

正规定义设f为在复平面C的某个连通开子集D上定义的单复变全纯函数。如果z0是D中一点，使得对它任意邻域上的其它的点z都有，那么函数f是在D上的常数函数。1

证明概要首先注意到等式：2

logf(z) = log |f(z)| + i argf(z)

于是，对于复变量自然对数， log |f(z)| 是一个调和函数。 由于z0是这个函数的一个局部极大值，根据极大值定理，|f(z)| 在定义域上是常数。因此，运用柯西-黎曼方程可以得到：f'(z)=0。于是可以推出f(z) 是一个常数函数。

通过取倒数，可以得到对应的最小模原理。后者声称如果f在一个有界区域D内是全纯函数，并在其边界上连续，且在所有点上非零，那么函数 |f(z)| 的最小值只会在D的边界上取到。

同时，最大模原理可以被看作是所谓的开映射定理的一个特例。开映射定理声称，一个全纯函数必然将开集映射到开集。如果 |f| 在定义域内部一点a达到极大值，那么a的一个足够小的领域在f映射下的像集必然不是开集。于是，f必然是常数函数。

应用最大模原理在复分析的许多领域中都有着应用，可以产生很多重要的结果，比如：

用于证明代数基本定理：使用最大模原理的证明是一个基本的复分析的证明，可以在很多复分析教材中看到。

用于证明施瓦茨引理，一个在复分析中有广泛引应用并可以推出很多结果的定理。

其推广是弗拉格门-林德洛夫原理，将结果扩展到定义域无界的函数。