[科普中国]-微分同胚

定义

对给定的两个微分流形，若对光滑映射，存在光滑映射使得、，则称为微分同胚。此时逆映射是唯一的。

若在微分流形之间存在微分同胚映射，则称与是微分同胚的。

对于流形，可采同样办法定义微分同胚之概念。

例子考虑1

此微分同胚可由下述映射给出：

与同胚的关系对维度小于3的流形，可证明同胚的流形必为微分同胚；换言之，此时流形上的拓扑结构确定了微分结构。在四维以上则存在反例，最早的构造是约翰·米尔诺的七维怪球，米尔诺更证明了七维球上恰有28种微分流形结构，它们都可表成某个在上的丛。在1980年代，西蒙·唐纳森与迈克尔·哈特利·弗里德曼的证明在上有不可数个相异的微分结构。1

扩展在1926年，TiborRadó询问，单位圆的任何同胚或异形的谐波延伸是否在开放光盘上产生了变形。 Hellmuth Kneser不久之后提供了一个优雅的证明。 1945年，Gustave Choquet显然不知道这个结果，产生了完全不同的证据。2

圆的（取向保留）分形组是路径连通的。这可以通过注意到任何这样的不同形式可以提升到满足[f(x + 1)= f(x)+ 1]的令的diffeomorphism f;这个空间是凸的，因此是路径连接的。一个平滑的，最终恒定的身份路径给了第二个更加基本的方式，从圆形扩展到开放单位盘（亚历山大技巧的特殊情况）。此外，圆的不同形状组具有正交组O(2)的同伦型。

20世纪50年代和60年代，高维球体Sn-1的不同形貌的相应扩展问题得到了很多研究，其中有RenéThom，John Milnor和Stephen Smale的着作。这种延伸的阻碍由有限的阿贝尔组Γn（“扭转球体组”）给出，其定义为由扩展到球Bn的不同形态的分类的不同形式组的阿贝尔组分组的商。