[科普中国]-对称变换

正多边形的对称变换

**1、**正三角形在下面六个平面刚体运动中保持不变：

（1）恒等变换，记作I。

（2）关于对称轴r1所在直线的反射，记作r1。

（3）关于对称轴r2所在直线的反射，记作r2。

（4）关于对称轴r3所在直线的反射，记作r3。

（5）以重心O为中心转120° 的旋转，记作ρ1。

（6）以重心O为中心转240° 的旋转，记作ρ2。

正三角形的六个对称变换组成的集合记作D3，即D3={I,r1,r2,r3,ρ1,ρ2}。

**2、**正四边形在下面八个平面刚体运动中保持不变：

（1）恒等变换，记作I。

（2）关于对称轴r1所在直线的反射2，记作r1。

（3）关于对称轴r2所在直线的反射，记作r2。

（4）关于对称轴r3所在直线的反射，记作r3。

（5）关于对称轴r4所在直线的反射，记作r4。

（6）以重心O为中心转90° 的旋转，记作ρ1。

（7）以重心O为中心转180° 的旋转，记作ρ2。

（8）以重心O为中心转270° 的旋转，记作ρ3。

正四边形的八个对称变换组成的集合记作D4，即D4={I,r1,r2,r3,r4,ρ1,ρ2,ρ3}。

对称变换的合成一个平面图形的两个对称变换a与b的合成（先做变换a，再做变换b）仍然是这个平面图形的对称变换，记作b·a3。

对称变换的性质1、对于任意对称变换a与恒等变换I，都有a·I=I·a。

2、一般地，平面图形的对称变换不满足交换律（除恒等变换外）。

3、平面图形的对称变换满足结合律。

对称变换的分类对称变换主要有3：

1、y=f(－x) 与y=f(x) 的图象关于y轴对称；

若f(－x)=f(x)，则函数自身的图象关于y轴对称。

2、y=－f(x) 与y=f(x) 的图象关于x轴对称。

3、y=－f(－x) 与y=f(x) 的图象关于原点对称；

若f(－x)=－f(x)，则函数自身的图象关于原点对称。

4、y=f(x) 与y=f(x) 的图象关于直线y=x对称。

5、y=－f(－x) 与y=f(x) 的图象关于直线y=－x对称。

6、y=f(2a－x) 与y=f(x) 的图象关于直线x=a对称；

若f(x)=f(2a－x)（或f(a+x)=f(a－x)），则函数自身的图象关于直线x=a对称。

7、y=2b－f(x) 与y=f(x) 的图象关于直线y=b对称。

8、y=2b－f(2a－x) 与y=f(x) 的图象关于点(a，b)对称。

例1、设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x－1)=f(1－x)，那么f(x)的图象有对称轴( )。

A.直线x=0 B.直线x=1

C.直线y=0 D.直线y=1

【解析】设x－1=t，则f(t)=f(－t)，函数为偶函数，关于y轴对称。故答案选D。

例2、已知函数f(x)定义域为R，则下列命题中

①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称.

②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.

③若f(x－2)=f(2－x),则y=f(x)关于直线x=2对称.

④y=f(x－2)和y=f(2－x)的图象关于x=2对称.

其中正确命题序号有_____(填上所有正确命题序号).

【解析】 ①y=f(x)是偶函数，而f(x+2)是将f(x)的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x=－2，所以f(x+2)图象关于直线x=－2对称。

②y=f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(2－x)，所以y=f(x)图象关于直线x=2对称。

③令x－2=t ，则2－x=－t，得f(t)=f(－t)，y=f(x)的图象关于y轴对称。

④f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，将f(x)与f(－x)的图象分别向右平移2个单位，分别得到f(x－2)与f(2－x)的图象，对称轴右移2个单位为直线x=2.。

【答案】 ②④

对称变换的逆变换1、若两个对称变换a、b满足a·b=b·a=I，那么b（或a）叫做a（或b）的逆变换，记作

或

2、b·a的逆变换是。

多项式的对称变换1、如果一个多项式F经过字母的替换仍与原来的多项式相等，那么就说F具有对称性，上述字母的替换叫做多项式的对称变换3。

2、设一个多项式的下标组成的集合为{1,2,3,…,n}，σ是n元对称群Sn中的一个置换，如果对多项式的下标进行置换σ后仍与原来的多项式相等，那么置换σ就叫做多项式的对称变换。

3、如果一个n次多项式的对称变换是Sn中的全部变换，这样的多项式叫做对称多项式。