[科普中国]-不定方程

简介

不定方程(indeterminate equation)是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。1

历史不定方程是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。1

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

常见类型⑴求不定方程的整数解；

⑵判定不定方程是否有解;

⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。1

一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。设 、 是该方程的一组整数解，那么该方程的所有整数解可表示为 .

S（≥2）元一次不定方程的一般形式为 ， 为整数，且 。此方程有整数解的充分必要条件是 的最大公约数整除n。1

埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程 公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：

一,“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2~N中将不大于 的素数的倍数全部划去即可”。

二,后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 b > 0，（a，b) = 1， 且a，b为一奇一偶。

推论：勾股数方程的全部正整数解（x，y的顺序不加区别）可表示为：

其中 a > b > 0 是互质的奇偶性不同的一对正整数，d是一个整数。勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。

3．定义3.方程 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数） 是 的一种特殊情况，称为沛尔（Pell）方程。1

这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程 的研究，其中c，d都是整数，d > 0 且非平方数，而 c ≠ 0。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解（x，y），则称使 的最小的正整数解为它的最小解。

定理4.Pell方程 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数）必有正整数解，且若设它的最小解为，则它的全部解可以表示成：

上面的公式也可以写成以下几种形式：

定理5.Pell方程 ( x，y∈Z，正整数d不是平方数）要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为，则它的全部解可以表示为

|定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程 (n≥3且为整数）无正整数解。

费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。2

简单例题求11x+15y=7的整数解。

解法1 将方程变形得11x=7-15y

因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数。由观察得x=2，y=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为x=2，y=-1。

解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得11×（-4)+15×（3）=1，所以11×（-4×7)+15×（3×7)=7，可取x=-28，y=21。从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的。将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式。

代数几何对于多项式不定方程， 我们相当于求解某个代数簇上的有理点或整点等等。这样， 一个数论问题就转化为某种几何问题。这种观点将数论与代数几何联系起来，是一种重要的数学思想。对于代数曲线来说， 相应的不定方程是否有解的以及是否有无限个解， 都与曲线的亏格密切相关。这就是著名的莫代尔猜想（由法尔廷斯证明）所包含的内容。1

亏格零的曲线就是直线和二次曲线， 他们就对应了上述的一次和二次不定方程。亏格1的是椭圆曲线， 它的算术性质和代数几何性质极为丰富。它将数论、复分析、代数几何、表示论等等都联系起来， 是当代数学最重要的研究对象之一。与此相关的是千禧年七大数学难题之一的BSD猜想。

著名的费马大定理的证明也与此相关。

进展这个领域更有重要进展。但从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。1

不定方程

费尔马与费尔马大定理

费尔马（Pierre de Fermat，1601～1665)法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。——费尔马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克.牛顿、戈特弗里德.威廉.凡.莱布尼茨；又是概率论的主要创始人；还是独承17世纪数论天地的人。此外，费尔马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费尔马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一。

费尔马的家庭非常富裕，因而接受了很好、很广博的教育。当时还有“买官”的风气，所以费尔马得以一生都做官，而且官越当越大。

费尔马虽然一直做着官，但对他来说，真正的事业是学术，尤其是数学。他通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给他的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费尔马在数学上的造诣奠定了良好基础。在数学上，费尔马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。3

费尔马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。反映其成就的《数学论集》，还是费尔马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理后编辑出版的。多亏了这个好儿子啊！如果不是他积极出版其父的数学论著，那很难说费尔马能对数学产生那么重大的影响，并被誉为“业余数学家之王”。

费尔马的贡献很多，但最出名的要数其中的“费尔马大定理”。这是一个与“哥德巴赫猜想”一类的数学难题，下面就说说它。

费尔马大定理的内容：

当整数n > 2时，关于x,y,z的不定方 （n表示“n次方”）无正整数解。3

1637年，费尔马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文： "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费尔马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。

1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人。当时吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”，但都没成功。

最后，在1995年，亦即（从问题提出到解决）经过了三个半世纪的努力后，这道世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家——安德鲁.怀尔斯和他的学生理查?泰勒成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，这令人怀疑费尔马当年是否真的找到了正确证明。

安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles）由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。当然他也拿到了那笔10万马克的奖金，因为还在规定的“破解期限”内。

而怀尔斯证明费尔马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了7年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后又用了近一年的时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。1