[科普中国]-矩量母函数

定义

定义1（矩量母函数）设 为随机变量，若存在某正实数 ，使得对于区间 中任一实数t，数学期望 均存在，则称

为随机变量 或其分布的矩量母函数（moment generating function），简记为mgf.1

另外，称矩量母函数的对数为累积量生成函数。

与特征函数的联系定义2（特征函数）设 为随机变量，称复随机变量 的数学期望

为 的特征函数，其中t为实数。

特征函数具有以下性质：

（1）如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。

（2）独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。

综合定义1和定义2，可得随机变量 的特征函数与其mgf之间存在如下关系:

对比特征函数的性质，随机变量的mgf也具有如下常用性质：

（1）如果两个随机变量具有相同的mgf，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的mgf也相同。（即在mgf存在的情况下，随机变量的mgf与其概率分布相互唯一确定。）

（2）独立随机变量和的mgf等于每个随机变量mgf的乘积。

性质 以连续随机变量为例，离散型随机变量可做相同变换。

（1）由泰勒级数

有

即

其中， 是随机变量 的i阶中心矩。

（2）mξ(-t)是双侧拉普拉斯变换(Laplace Transform)。

（3）不管概率分布是不是连续，矩量母函数都可以用黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：

其中，F(x)是累积分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称CDF)。2

应用常见分布的mgf对于随机变量，有如下结论：1

（1）若，则的mgf为

（2）若，则的mgf为

（3）若服从参数为的指数分布，则的mgf为

求随机变量的矩设随机变量 的矩量母函数存在，则 的各阶矩存在且可由矩量母函数表示。具体地， 的k阶矩为矩量母函数在0点的k阶导数值，即对任意正整数k，有

特别地，有

证明：由泰勒级数

有

即其中，是随机变量的i阶中心矩。上式左右两边同时对t求n阶导，得到

故

即

证毕。