[科普中国]-条件分布

定义

二维随机向量 中， 与 的相互关系除了独立以外，还有相依关系，即随机变量的取值往往彼此是有影响的，这种关系用条件分布能更好地表达出来。

对于二维随机向量 ，所谓随机变量X的条件分布，就是在 的条件下X的分布函数。比如，记X为人的体重，Y为人的身高，则X与Y一般有相依关系，现在如果限定Y=172(cm)，在这个条件下体重X的分布显然与X的无条件分布有很大不同。

设给定二维随机向量 ，对任意 ，若 ,则

是一维分布函数，自然称它为条件 下， 的条件分布函数。2

离散随机向量的条件分布条件分布列如果二维离散随机向量 的联合分布列为

仿照条件概率的定义，我们很容易地给出离散随机向量的条件分布列。

定义1 对一切使得 的 ，称

为在给定条件下X的条件分布列。

同理，对一切使得 的 ，称

为在给定条件下Y的条件分布列。

条件分布函数有了条件分布列，我们就可以定义离散随机向量的条件分布。

定义2 在给定 条件下X的条件分布函数为

在给定 条件下Y的条件分布函数为

连续随机向量的条件分布条件分布函数与条件密度函数设 为连续型随机向量，联合密度函数为 ，边际分布函数分别为。

定义3 对于一切 的 ，在给定 条件下，X的条件分布函数和条件密度函数分别为

同理对于一切 的x，在给定 条件下，Y的条件分布函数和条件密度函数分别为2

连续场合的全概率公式与贝叶斯公式有了条件分布密度函数的概率，可以顺便给出连续随机变量场合的全概率公式和贝叶斯公式。2

全概率公式

贝叶斯公式