[科普中国]-极值分布

定义

设 为从总体F抽出的独立同分布样本，且

如果存在常数 及 ，使 依分布收敛于G(x)，则称G(x)为一极大值分布；类似地定义极小值分布。它们统称为极值分布，而分布F称为“底分布”。

两个分布函数 和 称为是同类的，若存在常数a>0及b，使 ，并记为 。

显然，这种关系具有自反、对称和传递性。

极值分布的三大类型(Fisher—Tippett Theorem)：若G(x)为一连续极值分布，则G必与下列三个分布函数之一同类：

分别称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型极值分布，也分别称为Gumbel、Fr6cht、Weibull型极值分布。

一般的Gumbel型极值分布为

相应的生存函数为

当T服从威布尔分布且有密度函数式一般的Gumbel型极值分布时， 就服从 和众数为 的一般Gumbel型极值分布。1

Gumbel型极值分布极小值分布最小极值Ⅰ型分布简称极小值分布，其分布密度函数和分布函数分别为

及

式中 ——位置参数，实际上是分布的众数； ——尺度参数，与分布的离散性有关。

必须注意， 和 不是分布的均值及标准差，但与它们有关，分布密度函数式的图形见图1。图中曲线为 的情况，由图可知，极小值分布为一偏态分布(右偏)。

1.标准极小值分布,

令 ，则 ，代入上述分布密度函数和分布函数式子中得到Z的密度函数及分布函数分别为

上两式称为标准极小值分布，并且与分布参数 及 无关。

2．标准极小值分布的期望值及方差,

令 ，代入上式得

上式积分为一常数，称作欧拉(Euler)常数。通常记为“ ”即

又

所以

3．极小值分布的期望值及方差,

因为

所以

及

如果已知样本的试验数据，则可以计算总体的均值及标准差的估计值 及s，再由 和 的等式可以得到极小值分布的位置参数 及尺度参数 的估计值：

极大值分布最大极值Ⅰ型渐近分布密度函数和分布函数分别为

式中， ——位置参数； ——尺度参数。

极大值分布密度函数的图形如图2所示。

1.标准极大值分布

令，则 ，代入最大极值Ⅰ型渐近分布密度函数和分布函数两式中，得到

及

上两式称为标准极大值分布密度函数及分布函数，它们与分布参数 无关。

标准极大值分布的期望值及方差分别为

2．极大值分布的期望值和方差