[科普中国]-法雷级数

法雷级数定义1、定义

R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书，介绍了法雷级数。

如下表：

F1：0/1 1/1

F2：0/1 1/2 1/1

F3：0/1 1/3 1/2 2/3 1/1

F4：0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1

F5：0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

…… ………………………………

2、第n行Fn的真分数的个数有多少个我们设Fn的个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n，分子比n小且与n互质的数的个数，这正是欧拉函数φ（n）。即

ψ(n)=ψ(n-1)+ φ（n）.

ψ（1）=1+φ（1）.

ψ（2）=ψ（1）+φ（2）.

ψ（3）=ψ（2）+φ（3）.

………………

ψ(n)= ψ(n-1)+ φ（n）.

所以 ψ(n)=1+φ（1）+φ（2）+φ（3）+……+φ（n）很容易证明，当n≥3时，欧拉函数φ（n）是个偶数。由此我们得到除ψ（1）=2是偶数外，法雷级数其它各级的个数都是奇数，并且许多是素数。ψ（1）=2，ψ（2）=3，ψ（3）=5，ψ（4）=7，ψ（5）=11，ψ（6）=13，ψ（7）=19，ψ（8）=23，ψ（9）=29，……。1

数列长度n阶的法里数列 包含了较低阶的法里数列的全部项，特别是它包含 的全部项，和与n互质的每个数的相应分数。所以 包含了 和分数1⁄6及5⁄6。对大于1的n，其法里数列的中间项必定是1⁄22。

从上， 和 的长度的关系，可以用欧拉函数描述：

。

从 这项资料，可以推导出 的长度公式：

。

的渐近行为是：

。

性质法雷级数Fn具有很多美妙的性质，下面是一些常见的性质：

1.如果a/b,c/d是相邻的两项，则abs（a*d-b*c）=1。

2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项，则 (a+e)/(b+f)=c/d，特别的，如果c/d是新添加的，即c/d不属于F（n-1），则c=a+e；d=b+f。

关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道，丛F（n−1）到F（n）的构造过程中，F（n）的新项的分母一定是其相领两项的分母和。另一方面，如果F（n−1）中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F（n）中2。

福特圆法里数列和福特圆之间有个有趣关连2。

对每个最简分数p⁄q，有福特圆C[p⁄q]，以为半径，以 为圆心。两个不同分数的福特圆一是分开，一是相切，但不会相交。若0