[科普中国]-样条曲线

详细介绍定义

样条曲线是经过一系列给定点的光滑曲线。最初，样条曲线都是借助于物理样条得到的，放样员把富有弹性的细木条（或有机玻璃条），用压铁固定在曲线应该通过的给定型值点处，样条做自然弯曲所绘制出来的曲线就是样条曲线。样条曲线不仅通过各有序型值点，并且在各型值点处的一阶和二阶导数连续，也即该曲线具有连续的、曲率变化均匀的特点。

样条曲线——非均匀有理 B 样条曲线非均匀有理 B 样条曲线（NURBS），是一种用途广泛的样条曲线，它不仅能够用于描述自由曲线和曲面，而且还提供了包括能精确表达圆锥曲线曲面在内各种几何体的统一表达式。自1983年，SDRC公司成功地将NURBS模型应用在它的实体造型软件中，NURBS已经成为计算机辅助设计及计算机辅助制造的几何造型基础，得到了广泛应用1。

AutoCAD 使用的就是这种NURBS数学模型来创建样条曲线，这也是在MDT中进行曲面造型和实体造型的基础。

在详细阐明AutoCAD用于构造和修改NURBS曲线（以下简称“样条曲线”）的各项功能之前，从数学和几何角度了解关于NURBS曲线的几个术语，是非常有必要的。这里仅解释与理解AutoCAD中的NURBS曲线有关的名词，其它相关详细数学知识，请参见有关资料。

NURBS曲线的相关术语型值点或拟合点：所求的样条曲线应通过的已知给定点。

特征多边形或控制多边形：样条曲线是由一些折线组成的多边形构造出来的。简单地说，以数值计算的方法，用光滑的参数曲线段逼近该折线多边形，就构造出一条样条曲线。改变该多边形的顶点和个数，会影响曲线的形状。这里所说的折线多边形，就是样条曲线的特征多边形或控制多边形2。

曲线相关性质曲线段样条曲线是由一组逼近控制多边形的光滑参数曲线段构成，这些曲线段就是样条曲线段。

特征多边形/控制多边形的顶点/控制点

构成特征多边形的各段折线的端点，就是特征多边形的顶点，也叫做控制多边形的控制点。只有在特殊情况下，样条曲线才能通过控制点。

曲线次数样条曲线的次数，是由样条曲线数学定义中所取的基函数所决定的。直观的说，所构成样条曲线的一段光滑参数曲线段，由控制多边形的相邻连续的几段折线段决定，就是几次样条，最常用的就是二次和三次样条。二次样条的某一曲线段只与相应的两段折线段，三个控制多边形顶点有关，改变其中一个顶点，将影响三段样条曲线段。同样的，对三次样条，某一曲线段由相应的三段折线段，四个控制点决定2。

曲线阶数阶数与次数有关，样条曲线的阶是其次数加一。阶数越高，控制点越多。二次样条的阶数是三，样条曲线段由三个控制点决定；三次样条的阶数是四，样条曲线段与四个控制点决定。

曲线权值权值可控制样条曲线段在控制多边形范围内做局部调整，反映了曲线靠近控制多边形的程度，权值越大，曲线段越靠近控制多边形。反之，则远离。当权值为1时，NURBS曲线退化为非有理B样条曲线，可见非有理B样条曲线是NURBS的一个子集。

曲线允差允差是指样条曲线通过型值点的精确程度，允差越小，样条曲线与型值点越接近，允差为零，样条曲线将通过型值点3。

曲线产生方法AutoCAD用 SPLINE 命令创建样条曲线即 NURBS 曲线。还提供用 splinedit 命令，平滑多段线（POLYLINE）拟合生成近似样条曲线，以下称为“样条拟合多段线”。这种曲线不是真正意义上的样条曲线，而是由若干直线（曲线）段构成的多段线，逼近于样条曲线。但使用 SPLINE 命令可把这种二维和三维样条拟合多段线转换为样条曲线。

用SPLINE命令创建的样条曲线和编辑平滑多段线生成的样条拟合多段线相比，有以下不同：

样条曲线显然要比样条拟合多段线精确的多。在工程应用中，样条拟合多段线不能作为数学分析的基础，不能在曲线上，生成切线、法线或提取曲线上的点位数据。

在以下样例中（图1），样条曲线用于创建混凝土人行道的亮显边界4。