[科普中国]-自回归滑动平均模型

ARMA模型简述

ARMA模型属于时间序列分析中的一种，20世纪70年代，由美国统计学家金肯（JenKins）和波克斯（Box）提出。

模型形式ARMA(p,q)模型中包含了p个自回归项和q个移动平均项，ARMA(p,q)模型可以表示为：

。

式中符号： p和q是模型的自回归阶数和移动平均阶数；φ和θ是不为零的待定系数；εt独立的误差项； 是平稳、正态、零均值的时间序列。

ARMA滞后算子表示法1

ARMA(p,q)模型可以表示为：

或。

若 ,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若 ，则ARMA过程退化为AR(p)过程。

模型含义使用两个多项式的比率近似一个较长的AR多项式，即其中p+q个数比AR(p)模型中阶数p小。前二种模型分别是该种模型的特例。一个ARMA过程可能是AR与MA过程、几个AR过程、AR与ARMA过程的迭加，也可能是测度误差较大的AR过程1。

识别条件 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾，但较快收敛到0，则该时间序列可能是ARMA(p,q)模型。实际问题中，多数要用此模型。因此建模解模的主要工作是求解p、q和φ、θ的值，检验 和 的值。

模型阶数AIC准则：最小信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适用于样本数据较少的问题。目的是判断预测目标的发展过程与哪一随机过程最为接近。因为只有当样本量足够大时，样本的自相关函数才非常接近母体的自相关函数。具体运用时，在规定范围内使模型阶数从低到高，分别计算AIC值，最后确定使其值最小的阶数是模型的合适阶数。
模型参数最大似然估计时 。
模型参数最小二乘估计时 。
式中：n为样本数， 为拟合残差平方和，d、p、q为参数。其中：p、q范围上线是n较小时取n的比例，n较大时取 的倍数。实际应用中p、q一般不超过22。

建模步骤主要建模步骤如下3：

（1）对时间序列进行零均值平稳化处理。变形时间序列一般可分为平稳时间序列和趋势性序列。时间序列的趋势又分为线性趋势和非线性趋势。若变形时间序列为非平稳序列，具有向下或向上的趋势，建模之前需要进行序列平稳化处理，即零均值化、平稳化处理。平稳化处理的详细方法在后面叙述。

（2）开始，逐渐增加模型阶数，拟合ARMA (n,n-1)模型，即一阶、一阶增加模型阶数，模型参数采用非线性最小二乘法估计，具体算法采用最速下降法。选择残差序列最小方差对应的模型作为初选模型。

（3）模型适应性检验。模型适应性检验的采用前面详细阐述的相关函数法，这里不再重复。

（4）求最优模型。系统意义上的最优模型不仅是一个适应模型，而且是一个经济的模型。因此还需要检验模型是否包含小参数，若有，可用F检验判断是否可以删去，拟合较低阶模型，进而得到系统意义上的最优模型。

（5）变形时间序列预测。变形时间序列建模的主要目的是对变形序列未来取值进行预测，预测详细方法在后面叙述。

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