[科普中国]-指数积分

指数积分的定义

n阶指数积分(Exponential Integral)为

对正整数n≥1， 与 之间的递推关系为

当自变量为正实数且 时，函数 满足如下不等式1

一阶指数积分一阶指数积分（虚数自变量）是自变量取纯虚数时的积分(即式(1)中 ）1

该式也可以表示为如下等效形式

式中： 为欧拉一马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)：

三阶指数积分三阶指数积分（实数自变量）是自变量为正实数的指数积分(即式(1)中n=3）为

这一函数可用来计算无限片状分布声源的辐射噪声场。对所有 都有效的一个近似式(基于式(3))为

对于在区间 上取值的x，此近似式的最大相对误差为2%。1

正弦积分函数与余弦积分函数正弦积分函数(Sine Integral Function)与余弦积分函数(Cosine Integral Function)分别为

和

这两个函数与指数积分的关系如下

由此可得

这两个函数的渐近值为1

和

指数积分与其它函数的关系与对数积分

指数积分与对数积分 的关系： ；另外一个有密切关系的函数：**；**可以延伸到负数： ；我们可以把两个函数都用整函数来表示：

此函数的性质：

；

；

指数积分还可以推广为： 。

导数

函数 与 的导数有以下简单的关系： ；然而，这里假设了n是整数；复数n的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。

复变量的指数积分

从定义中可以看出，指数积分与三角积分之间的关系： 。