[科普中国]-加法定理

概率的加法定理互不相容事件的加法定理

定理1 两个互不相容事件的并的概率等于这两个事件的概率的和，即1

证明: 我们就概率的古典定义来证明这个定理。设试验的样本空问共有N个等可能的基本事件，而随机事件A包含其中的M1个基本事件，随机事件B包含其中的M2个基本事件，由于事件A与事件B是互不相容，因而它们所包含的基本事件应该是完全不相同的，所以，事件A与事件B的和A+B所包含的基本事件共有M1+M2个，于是得到

这一定理不难推广到有限多个互不相容事件的情形，因此有下面的定理。

定理2 有限个互不相容事件的和的概率等于这些事件的概率的和，即

由此可得下面的推论。

推论1 如果事件 构成互不相容的完备事件组，则这些事件的概率的和等于1，即

事实上．因为事件构成完备组，所以它们之中至少有一事件一定发生，即这些事件的和 是必然事件，所以

由此，根据定理2，即得。

特别的，对于仅由两个互不相容事件构成的完备组，即这两个事件是对立事件，我们有下面的推论。

推论2 对立事件的概率的和等于1，即

我们强调指出，上述概率加法定理仅适用于互不相容的事件，对于任意的两个事件A与B，我们有下面的一般概率加法。

一般的概率加法定理定理3 任意二事件的和的概率等于这二事件的概率的和减去这二事件的积的概率，即

证明: 事件AUB等于以下三个互不相容事件的和：

其中 表示事件A发生而B不发生， 表示事件B发生而A不发生，AB表示事件A与事件B都发生，因此，根据定理2，有

但是，事件A又等于互不相容事件AB与 的和，即

所以

由此得

同理可得

把最后两式代入，即得

易见当事件A与事件B互不相容时，定理3公式就化为定理1公式，因为这时。1

有限个事件情况定理4 任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算

可用数学归纳法证明。1

三角函数的加法定理三角函数的加法定理断言：两个被加项的和(差)的三角函数可由被加项的三角函数的值用代数方法表示出来。

定理的证明由对应的诸公式的建立而得到。

可根据三角函数的坐标解释或射影理论的基本原理证明，更多内容请查阅相应参考资料。2

基本定理 对于 与 的任意值，加法定理成立，用公式表出如下：2

对于余弦

对于正弦