[科普中国]-算术运算

定义

算术运算简称运算。指按照规定的法则和顺序对式题或算式进行运算，并求出结果的过程。包括：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种运算形式。其中加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方、开方为三级运算。在一道算式中，如果有几级运算存在，则应先进行高级运算，再进行低一级的运算。如：3+22×4=3+4×4=3+16=19；如果只存在同级运算；则按从左至右的顺序进行；如果算式中有括号，则应先算括号里边，再按上述规则进行计算。如:(3+2)2×4=52×4=100。运算和计算略有区别，计算是指把横式中的数按运算符号和规定的顺序求得结果，可以按运算法则，也可以按口算或其他简便的方式直接求得结果。而运算则是指求得结果的过程。2

算术运算的定义加法：把两个数合并成一个数的运算。

减法：在已知两个加数的和与其中的一个加数，求另--个加数的运算。

乘法：求两个数乘积的运算。其中：

(1)一个数乘整数，是求几个相同加数和的简便运算；

(2)一个数乘小数，是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少；

(3)一个数乘分数，是求这个数的几分之几是多少。

除法：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。3

乘方(Powers of Numbers)：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，n叫做指数，读作的n次方。看作的n次方的结果时，也可读作的n次幂。二次方也叫平方，三次方也叫立方。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

开方(Roots of Numbers)：一般地，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根(也叫做二次方根)，换句话说，如果，则x就叫做的平方根。

一般来说，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根为零。在式子中，叫做被开方数，2叫做根指数。

正数的正的平方根，也叫做的算术平方根；零的平方根也叫做零的算术平方根，因此零的算术平方根仍旧为零。4

加、减、乘、除运算各部分的关系乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。

减法与加法互为逆运算，除法与乘法互为逆运算。

加数+加数=和；

被减数－减数=差；

一个加数=和－另一个加数；

减数=被减数－差；

被减数=差+减数；

因数×因数=积；

一个因数=积÷另一个因数；

被除数÷除数=商；

除数=被除数÷商；

被除数=商×除数.3

算数运算的法则加减法的法则整数

(1)相同数位对齐；

(2)从个位算起；

(3)加法中满几十就向高一位进几；减法中不够减时，就从高一位退1当10和本数位相加后再减。

小数

(1)小数点对齐(即相同数位对齐)；

(2)按整数加、减法的法则进行计算；

(3)在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。

分数

(1)同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减；

(2)异分母分数相加、减，先通分，再按同分母分数加、减法的法则进行计算；

(3)结果不是最简分数的要约分成最简分数。

乘法的法则整数

(1)从个位乘起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数；

(2)用第二个因数那一位上的数去乘，得数的末位就和第二个因数的那一位对齐；

(3)再把几次乘得的数加起来。

小数

(1)按整数乘法的法则先求出积；

(2)看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

分数

(1)分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；

(2)有整数的把整数看作分母是1的假分数；

(3)能约分的要先约分。

除法的法则整数

(1)从被除数的高位除起；

(2)除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位；

(3)除到哪一位就要把商写在哪一位上面；

(4)每次除得的余数必须比除数小；

(5)求出商的最高位后如果被除数的哪一位上不够商1就在哪一位上写0。

小数

(1)除数是整数时，按整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；

(2)除数是小数时，先转化成除数是整数的小数除法，再按照除数是整数的小数除法进行计算。

分数

甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。

算术运算的运算性质加法运算性质从加法交换律和结合律可以得到：几个加数相加，可以任意交换加数的位置；或者先把几个加数相加再和其他的加数相加，它们的和不变。例如 : 34+72+66+28 =(34+66)+(72+28)= 200。

减法运算性质①一个数减去两个数的和，等于从这个数中依次减去和里的每一个加数。例如：134－(34+63)=134－34－63=37；

②一个数减去两个数的差，等于这个数先减去差里的被减数，再加上减数。例如：100－ (32－15) =100 －32 +15=68+15=83；

③几个数的和减去一个数，可以选其中任一个加数减去这个数，再同其余的加数相加。例如：（35 +17 +29）－25=35－25+17+29=56；

④一个数连续减去几个数，可以先把所有的减数相加，再从被减数里减去减数相加的和。例如：276－115－85 =276－(115 +85) =76。

乘法运算性质①几个数的积乘一个数，可以让积里的任意一个因数乘这个数，再和其他数相乘。例如：(25×3×9)×4 =25 ×4×3×9 =2700；

②两个数的差与一个数相乘，可以让被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。例如： (137 -125)×8=137×8-125×8= 96。

除法运算性质①若某数除以（或乘）一个数，又乘（或除以）同一个数，则这个数不变。例如：68÷17×17=68（或68×17÷17=68）；

②一个数除以几个数的积，可以用这个数依次除以积里的各个因数。例如：320÷(2×5×8) =320÷2÷5÷8 =4；

③一个数除以两个数的商，等于这个数先除以商中的被除数，再乘商中的除数。例如：56÷(8÷4)=56÷8×4=28；

④几个数的积除以一个数，可以让积里的任何一个因数除以这个数，再与其他的因数相乘。例如：8 ×72×4÷9=72÷9×8×4=256；

⑤几个数的和除以一个数，可以先让各个加数分别除以这个数，然后再把各个商相加。例如：(24+32+16)÷4=24÷4+32÷4+16÷4=18；

⑥两个数的差除以一个数，可以从被减数除以这个数所得的商里，减去减数除以这个数所得的商。例如：(65－39)÷13=65÷13－39÷13=2。

幂的性质1.

2.

3.

4.

5. (为最简分数，当n为正偶数时，必为非负数)；

6.

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