[科普中国]-外微分形式

外微分形式简介

微分形式是多变量微积分、微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积(wedge product)和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

我们从R中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数f. 当我们在R的m-维子空间S上对函数f积分时，我们将积分写作1：

把dx1, ...,dxn当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本'1**-形式。**

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件： 对所有i,j

注意这意味着

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积

的集合为基本'3**-形式，这里假定n至少为3。定义一个单项式'k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式，定义k-形式**为一些单项式k-形式的和。

楔积可以推广到这些和上：

等等，这里dxI和类似的项表示k-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

我们来定义光滑流形上的k-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式；一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。

楔积的性质若f,g,w为任意微分形式，则

若f为k-形式，g为l-形式：

抽象（简明）定义及讨论在微分几何中，k阶微分k-形式是一个流形的余切丛的k阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂（cartesian power）到R的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

微分形式的积分k阶微分形式可以在k维链（chain）上积分。若k= 0,这就是函数在点上的取值。其他的k= 1, 2, 3, ...对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设

为一微分形式，设S为一个我们想在其上积分的集合，其中S有参数化形式

u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为

其中

是雅可比矩阵的行列式2。参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

微分形式的操作一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积,外微分（用d表示），和李导数。d= 0,细节请见德拉姆上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。