[科普中国]-赫尔德条件

简介

数学上，称上的实值函数适合赫尔德条件，或称赫尔德连续，当存在非负常数，，使得,

这条件可以推广至任何两个度量空间之间的函数。称为赫尔德条件的指数。如果，则函数适合利普希茨条件。如果，则函数不过是有界的。

由适合某个赫尔德条件的函数组成的赫尔德空间，在泛函分析有关解偏微分方程的领域有基本地位。记为某个欧几里得空间的开集，赫尔德空间所包含的函数，是直到n阶微分都适合指数的赫尔德条件。

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥托·赫尔德(Otto Hölder)。这是一条揭示Lp空间的相互关系的基本不等式：

设S为测度空间，，及，设f在内，g在内。则在内，且有

。

若S取作附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数），有

。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式可以证明空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明空间是空间的对偶1。

备注在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

如果1 ≤ p，q 和表示（可能无穷的）表达式：

以及

如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞1。

证明赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：

我们使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当ap = bq时等式成立。因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：

。

例子如果，那么所有赫尔德连续函数都是赫尔德连续的。这也包括了(这里需要集合是有界的)，所以所有利普希茨连续函数都是赫尔德连续。

在上定义函数，不是利普希茨连续；但对，是赫尔德连续。2