[科普中国]-非线性滤波

概念

从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。非线性滤波的原始数据与滤波结果是一种逻辑关系，即用逻辑运算实现，如最大值滤波器、最小值滤波器、中值滤波器等，是通过比较一定邻域内的灰度值大小来实现的，没有固定的模板，因而也就没有特定的转移函数，另外，膨胀和腐蚀也是通过最大值、最小值滤波器实现的1。

目前，对一般的非线性滤波问题的研究相当活跃，常用的非线性滤波有扩展卡尔曼滤波(EKF)、不敏卡尔曼滤波(UKF)、粒子滤波(PF)等。

一般的非线性最优滤波可归结为求条件期望的问题。对于有限多个观测值的情形，条件期望原则上可以用贝叶斯公式来计算。但即使在比较简单的场合，这样得出的结果也是相当繁杂的，无论对实际应用或理论研究都很不方便。与卡尔曼滤波类似，人们也希望能给出非线性滤波的某种递推算法或它所满足的随机微分方程。但一般它们并不存在，因此必须对所讨论的过程X与Y加以适当的限制。非线性滤波的研究工作相当活跃，它涉及随机过程论的许多近代成果，如随机过程一般理论、鞅、随机微分方程、点过程等。其中一个十分重要的问题，是研究在什么条件下，存在一个鞅M，使得在任何时刻,M和Y 都包含同样的信息；这样的M称为Y 的新息过程。目前对于一类所谓“条件正态过程”，已经给出了非线性最优滤波的可严格实现的递推算式。在实际应用上，对非线性滤波问题往往采用各种线性近似的方法。

分类1.中值滤波中值滤波（Median filter）是一种典型的非线性滤波技术，基本思想是用像素点邻域灰度值的中值来代替该像素点的灰度值，该方法在去除脉冲噪声、椒盐噪声的同时又能保留图像边缘细节。

中值滤波是基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性信号处理技术，其基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替，让周围的像素值接近的真实值，从而消除孤立的噪声点，对于斑点噪声（speckle noise）和椒盐噪声（salt-and-pepper noise）来说尤其有用，因为它不依赖于邻域内那些与典型值差别很大的值。中值滤波器在处理连续图像窗函数时与线性滤波器的工作方式类似，但滤波过程却不再是加权运算。

中值滤波在一定的条件下可以克服常见线性滤波器如最小均方滤波、方框滤波器、均值滤波等带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声非常有效，也常用于保护边缘信息, 保存边缘的特性使它在不希望出现边缘模糊的场合也很有用，是非常经典的平滑噪声处理方法。

中值滤波的改进改进——**加权中值滤波：**在中值滤波的基础上加以改进，其性能在一定程度上优于中值滤波。

中值滤波与均值滤波器比较

中值滤波器与均值滤波器比较的优势：在均值滤波器中，由于噪声成分被放入平均计算中，所以输出受到了噪声的影响，但是在中值滤波器中，由于噪声成分很难选上，所以几乎不会影响到输出。因此同样用3x3区域进行处理，中值滤波消除的噪声能力更胜一筹。中值滤波无论是在消除噪声还是保存边缘方面都是一个不错的方法。

中值滤波器与均值滤波器比较的劣势：中值滤波花费的时间是均值滤波的5倍以上。

2.双边滤波双边滤波（Bilateral filter）是一种非线性的滤波方法，是结合图像的空间邻近度和像素值相似度的一种折衷处理，同时考虑空域信息和灰度相似性，达到保边去噪的目的。具有简单、非迭代、局部的特点。

双边滤波器的好处是可以做边缘保存（edge preserving），一般过去用的维纳滤波或者高斯滤波去降噪，都会较明显地模糊边缘，对于高频细节的保护效果并不明显。双边滤波器，顾名思义比高斯滤波多了一个高斯方差sigma－d，它是基于空间分布的高斯滤波函数，所以在边缘附近，离的较远的像素不会太多影响到边缘上的像素值，这样就保证了边缘附近像素值的保存。但是由于保存了过多的高频信息，对于彩色图像里的高频噪声，双边滤波器不能够干净的滤掉，只能够对于低频信息进行较好的滤波。

3.粒子滤波由于自然界中的动态系统一般都为非线性非高斯分布，因此研究非线性非高斯分布情况下的滤波算法具有普遍意义。粒子滤波是针对此种情况下的滤波算法，它以贝叶斯估计理论为基础，以蒙特卡罗随机抽样算法为核心，通过抽样估计状态空间的后验概率密度分布，由时间更新与测量更新两个步骤来达到最优贝叶斯估计。粒子滤波以序贯重要性采样为核心算法（Sequential Importance Sampling，SIS），它是一种蒙特卡罗方法，它通过蒙特卡罗模拟实现递推贝叶斯滤波，其核心思想是利用一系列随机样本的加权和表示所需的后验概率密度，得到状态的估计值2。

为了解决粒子滤波较高的计算开销的问题，现在有很多的改进方案，如粒子滤波与其它滤波算法结合的复合算法，也有从硬件上进行开发的方案。

4.卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器（自回归滤波器），它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。

卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。卡尔曼滤波器与大多数滤波器不同之处，在于它是一种纯粹的时域滤波器，它不需要像低通滤波器等频域滤波器那样，需要在频域设计再转换到时域实现。

卡尔曼滤波器的操作包括两个阶段：预测与更新。在预测阶段，滤波器使用上一状态的估计，做出对当前状态的估计。在更新阶段，滤波器利用对当前状态的观测值优化在预测阶段获得的预测值，以获得一个更精确的新估计值。

卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，通过对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。在很多工程应用（如雷达、电脑视觉）中都可以找到它的身影。同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要课题。

应用在实际应用中，非线性滤波算法的选取还应根据具体应用场合和条件，并需要在估计精度、实现难易程度、数值稳健性及计算量等各种指标之间综合权衡。

例如，在雷达对再入飞行目标进行跟踪问题中，由于目标再入速度极快,受到复杂的空气动力影响而呈现出很强的非线性，通常用 UKF 方法更适合；但是如果再入飞行器的空气动力特性已知(即弹道系数已知，则系统模型呈弱非线性，此时 EKF 效果优于 UKF；基于插值展开近似方法计算简单、精度高、适应面广、数值稳健性好，是一种很有发展前途的非线性估计方法；Un-scented滤波和粒子滤波用非线性变换代替传统的线性变换，体现了非线性滤波算法应更接近系统的非线性本质的思想，代表了非线性滤波的发展方向。