[科普中国]-内接三角形

定义三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接三角形，而这个圆周叫做该三角形的外****接圆。任何一个三角形都有且仅有一个外接圆，外接圆的中心是三角形三边中垂线的交点；如果三角形是锐角三角形时，那么外接圆的中心在三角形的内部，如果是钝角三角形时，那么外接圆的中心则在三角形的外部，在直角三角形时，外接圆的中心则是斜边的中点。

三角形外接圆的半径计算公式为：

其中 是三角形的边； 是半周长， 是三角形的面积； 分别是三角形的边 所对的内角。1

外切三角形：三边都与一个圆相切的三角形叫做这个圆的外切三角形，而这个圆叫做该三角形的内切圆。在任何一个三角形里，都能作且只能作一个内切圆，内切圆的中心O是三角形的内角平分线的交点。三角形内切圆的半径计算公式为：

相关证明题举例1．如图，已知在△ABC中，AD和BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC外接圆于E，连结BE，求证：BE=DE。

证明： 如图，

说明: 三角形内角平分线的交点是三角形的内心，所以本题可叙述为如下命题：“三角形一个角所对外接圆圆弧的中点到另外两个角的顶点的距****离。等于它到这个三角形的内心的距离．”2

2．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，交圆O于E，求证：AE平分∠OAD。

证明: 如图，连结OE。

平分

平分

说明: 图中从顶点A引出的三条线段AO、AE、AD分别经过△ABC的外心、内心、垂心，所以本题给出了联系三角形外心、内心、垂心的一个几何性质。2

3．如图，已知H、O分别是△ABC的垂心和外心，OL⊥BC于L，求证：AH=2OL。

证明： 如图，作OM⊥AC于M，则M是AC的中点，连结ML。

于 是 的中点，

是△ABC的一条中位线，

同理，

又 LM是△ABC的中位线，

说明: (1)构造两个三角形相似，利用相似比来证等比式是本题证明的思路。

(2)本题可叙述为关于三角形垂心和外心的一个命题：“三角形垂心到****一个角的顶点的距离等于外心到这个角对边距离的两倍”。 2

相关定理①三角形的外接圆有关定理：三角形各边垂直平分线的交点，是外心。外心到三角形各顶点的距离相等。外心到三角形各边的垂线平分各边。

**② 三角形的内切圆有关定理：**三角形各内角平分线的交点，是内心。内心到三角形各边的距离相等。三角形任一顶点到内切圆的两切线长相等。三角形顶点到内切圆的切线长，是这点到圆心的距离与它圆外部分的比例中项。