[科普中国]-对称面

群论在化学中的应用基本介绍

一个对称面必须通过一个物体，即平面不能完全在物体之外。给定平面是对称面所必须满足的条件可表述如下。让我们按下列方式把笛卡尔坐标系应用于分子，令平面包含两个坐标轴(例如x和y)，垂直于第三个轴(即z)。分子中每个原子在这个坐标系中的位置可逐一指明。现在假设对于所有原子，固定x和y坐标而改变z坐标的符号：这样一来，原来在 点的第i个原子移动到 点。另一种表示上一操作的方法是说“从每个原子向平面作垂线，把这条线向平面的反面延长相等的距离，并把原子移到线的另一端”。若对分子中所有原子都完成了这种操作后，得到了一个等价构型，所用的平面就是对称面。

显然，位于平面中的原子构成特殊情况，因为通过平面的反映操作完全不使它们移动。由此可见，任意平面型分子至少必须有一个对称面，即它的分子平面。定义的另一重要而直接的结论，是对于具有对称面的分子中各种原子数目的限制。不位于平面上的给定种类的全部原子必须按偶数出现，因为每个原子在平面的两侧必须是成对的。当然，给定种类的任意数目的原子可以在平面上。其次，若在分子中给定种类的原子只有一个，它必须在分子可能具有的每一个对称面上。这意味着，它必须在两个或两个以上的平面的交线上，或在三个或三个以上平面的交点上(假若存在那样一个点)，因为这个原子必须同时位于所有的对称面上。

对称面的标准符号是 ；同样的符号也用于通过平面的反映操作。

应该明确地指出，一个对称面的存在引起、要求或如通常所说的生成一个对称操作。两次应用同一种反映的效果是把所有的原子放回它们的原始位置。因此当操作 产生与原始情况等价的构型时，两次应用同样的 导致恒等于原始情况的构型。现在我们可以方便地用 的写法来表示连续应用n次操作 。因此我们还可以写 ，此处我们用符号E表示一些操作的任意组合，这个组合使分子取恒等于原始情况的构型。我们把E或与E相等的一些操作的组合称为恒等操作。显然，当n是偶数时 ，当n是奇数时 。1

举例说明现在考虑几个说明分子对称面的例子。一种极端情况是完全没有对称面的分子。这种分子的一种普通类型是非平面的分子，分子中每种原子的数目都是奇数。FClSO就是一个例子，见下图。

另外一种极端情况是具有无限个对称面的分子，即线型分子。对于这些分子，任一包含分子轴的平面都是对称面，而且显然有无数个这种平面。大多数的小分子介于这两种极端情况之间；即它们有一个或几个对称面。若我们取F2SO或Cl2SO来代替FClSO，我们就得到具有一个对称面的分子，这个面通过S和O并垂直于Cl、Cl、O或F、F、O平面。H2O分子有两个对称面。一个显然与分子平面共面，另一个包含氧原子(这是必然的，因为只有一个这样的原子)并垂直于分子平面。通过第二个平面反映的效果是使氧原子固定而交换两个氢原子，但是通过第一个平面的反映使所有原子不动。属于AB2C2类型的四面体分子(例如CH2Cl2)也具有两个相互垂直的对称面。一个包含AB2，通过这个平面的反映使这三个原子不动，同时交换C原子；另一个包含AC2，而通过它的反映只交换B原子。

NH3和CHCl3分子是含有三个对称面的典型。对于NH3，任一对称面都必须包含氮原子和一个氢原子或所有三个氢原子。因为NH3不是平面型的，所以不可能有包含N和所有三个H的对称面；因此我们指望包含N和一个H，并平分其余两个H之间联线的平面。显然有三个这样的平面。对于CHCl3，除了氢原子必须也位于对称面中，情况完全相似。

NH3分子只是普通三角锥型分子AB3的一个例子。让我们看一下，当把A原子向三个B原子的平面方向压，开始使这一分子压扁时，会发生什么。容易看出，即使在压成共平面的极限情况下，也不会影响三个对称面。除了在共平面的极限情况以外，它并不能引入任何新的对称面。一旦AB3变成平面型，就有了第四个对称面，它是分子平面。具有四个对称面，其中三个垂直于分子平面的AB3型分子或离子，是为数众多且重要的。例如有硼的卤化物、 、 和SO3。

属于[PtCl4]2-或[AuCl4]-一类型的平面型分子有五个对称面。一个是分子平面。还有两个垂直于分子平面且相互垂直，它们通过三个原子。最后还有两个也是垂直于分子平面且相互垂直，它们等分Cl—Pt—Cl或Cl—Au—Cl角。

正四面体分子具有六个对称面。利用图2所示的编号系统，我们可以把它们所包含的原子编上号来逐一指明。这些对称面包含下列原子：

AB1B2，AB1B3，AB1B4，AB2B3，AB2B4，AB3B4

正八面体总共包含九个对称面。在逐一确定它们时，可参看上图附有原子编号的图。首先有三个平面属于同一类型，即包含下列各组原子的那些平面：AB1B2B3B4、AB2B4B5B6和AB1B3B5B6。其次还有六个平面属于第二种类型，其中之一包含AB5B6并且平分B1一B2和B3一B4联线，第二个包含AB1B3并且平分B2一B5和B4一B6联线，等等。1

几何学名词把空间图形F关于某一平面 进行对称移动，这时，如果F与其自身相重合，则F称为关于 是对称的， 称为图形F的对称面2。

**对称(**symmetry)有轴对称、点对称和面对称等情况。通常所说的对称，一般指轴对称。对称一词还用于其它情形，例如对称多项式，对称矩阵，对称空间、对称群、对称张量、对称分布等。2

结晶学名词结晶学名词。对称要素之一。是一个能将图形分为两个互成镜像反映的相等部分的假想平面，一般用字母P表示。垂直于对称面的任意直线的两端等距离处，必可找到相对应的点。

对称面是一个假想的平面，它把晶体分为互成镜像反映的两个相等部分。

与对称面相应的对称操作是对此平面的反映。对称面的存在有两个必要条件：一是该平面能把晶体分为相等的两部分；二是这两部分间互成镜像关系。如图4中，P1和P2都把晶体分为相等的两部分，其中P1是对称面，而P2则不是，因为它所分隔的两部分不呈镜像关系。

对称面在晶体中可以没有，也可以有一个或数个，最多可达9个，描述时把对称面的数目写在符号前面，如立方体中有9个对称面，则记为9P。晶体中如果有对称面存在，它必定通过晶体的几何中心。此外，对称面可以垂直平分晶面或晶棱、平分晶面夹角，也可以包含晶棱。3