[科普中国]-梯形法则

基本介绍

一阶牛顿-柯特斯闭型积分公式称为梯形法则(trapezoidal rule)，下面先介绍牛顿-柯特斯公式。

牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes formulas)是一种常用的数值积分公式。它的基本策略是用另一个易于积分的近似函数替换被积函数或表格型数据，即

其中， 是具有如下形式的多项式

n为多项式的系数。例如，图1(a)用一次多项式(即直线)作为近似函数；图1(b)用抛物线作为近似函数。 1

也可以将整个积分区间分成若干个等距的子区间，每个子区间上使用分段多项式来逼近函数或等距间隔的数据。例如，图2 使用三个直线段与坐标轴所围成的面积来逼近积分。还可以使用更高阶的多项式去计算积分。

牛顿-柯特斯公式分为闭型(closed forms)和开型(open forms)两类。在积分过程中，如果积分区间两端的数据点是已知的，则称为闭型积分，如图3(a)所示。反之，若积分区间超出了数据范围，则称为开型积分，如图3(b)所示。开型公式一般不用于定积分，但可用于计算广义积分和常微分方程的求解。这里主要介绍闭型积分公式。1

梯形法则介绍一阶牛顿-柯特斯闭型积分公式称为梯形法则(trapezoidal rule)，即在式(1)中使用一次多项式

我们知道，直线可以表示为

用这条直线下的面积作为积分 的一个估计值：

积分的结果为

此公式称为梯形法则。1

如图4所示，从几何上看，梯形法则相当于用连接 和 的直线与坐标轴所围梯形的面积来逼近积分。回顾几何的知识知，梯形的面积等于高乘以上底和下底的算术平均值(图5(a))。这个概念在此依然是成立的，只是梯形的方位改变了(图5(b))。因此，积分公式可近似地表示为： 宽 平均高度，或者 平均高度。

其中，对于梯形法则，平均高度等于被积函数在积分区间两个端点处函数值的算术平均值，即 。

所有的牛顿-柯特斯闭型积分公式都可以写成式( 平均高度)的一般形式。事实上，它们的不同之处仅仅在于对平均高度的计算。1

梯形法则的误差很明显，在使用直线段下的积分逼近曲线积分的过程中，不可避免地会引入误差(图6)。对于单应用型梯形法则，对于单应用型梯形法则，近似局部截断误差为

其中，介于a，b之间。由上式可以看出，对于所有线性函数，梯形法则精确成立。但对于具有二阶或更高阶导数(即，有曲率)的函数，误差总是存在的。1