[科普中国]-排队系统

简介

在排队论的一般模型中，各个顾客由顾客源（总体）出发，到达机构（服务台、服务员）前排位等候接受服务，服务完了后就离开，队列的数目和排列方式称为排列结构，顾客按怎样规则次序接受服务称为排队规则和服务规则。从服务到达接受服务以后离去，这一从到达到离去为止的过程就构成了一个排队系统。1

排队系统的组成排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划组成。

一般还假设到达间隔时间序列与服务时间均为独立同分布随机变量序列，且这两个序列也相互独立。

评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费，增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客，增加多少比较好呢？顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标：队长、等待时间、服务台的忙期（简称忙期）都很关心。因此这3个指标也就成了排队论的主要研究内容。23

更具体的说，排队系统包括顾客源、队列、服务机构。可用下面图来表达它们之间的关系：

现实世界中形形色色的排队系统：

|| ||

排队论的应用非常广泛。它适用于一切服务系统。尤其在通信系统、交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等方面应用得最多。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响它今后的发展方向。

输入过程顾客源分为：（1）无限(如电话呼唤)

（2）有限m（如车间里待修理的机器）

到达规律指到达间隔时间T 的分布：

分为： （1）定长 D （2）负指数 M（3）k阶爱尔朗 Ek

排队规则损失制指顾客到达时若所有服务实施均被占用，则顾客自动离去。

等待制指顾客到达时若所有服务实施均被占用，则留下来等待，直至被服务完离去。

等待的服务规则又可分为：（1）先到先服务（FCFS）

（2）后到先服务（LCFS）

混合制分为：（1）系统容量有限制

（2）等待时间有限制

服务机构服务台个数 C：一般均为并列多台；

服务规律：指服务时间 v 的分布

分为：（1） 定长 D

（2）负指数 M

（3）k阶爱尔朗

（4） 一般分布 G

排队模型的表示用记号（X/Y/Z/A/B/C）表示，其中

X：顾客到达时间间隔的分布

Y：服务时间的分布

Z：服务台个数

A：系统容量

B：顾客源数量

C：服务规则

排队系统的衡量指标服务队长Ls—服务中的顾客数；

排队长Lq—队列中的顾客数；

总队长L=Ls+Lq 系统中的顾客总数；

逗留时间Ws—顾客在服务中的等待时间；

等待时间Wq—顾客在队列中的等待时间；

总时间W=Ws+Wq 顾客在系统中的总停留时间；

忙期—服务机构两次空闲的时间间隔；

服务强度ρ；

稳态—系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。

排队问题的求解主要是计算描述系统运行状态的指标：

1. 队长和排队长

队长：系统中的顾客数；其概率分布称状态概率，记为，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为。

排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为。

2.逗留时间和等待时间

逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。

等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。4

到达与服务的规律到达的规律描述顾客到达规律可从两方面：

现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征：

（1）无后效性：任一时段的到达数不受前一时段的影响；

（2）平稳性：顾客到达是均匀的；

（3）稀有性：瞬时内只可能有1个顾客到达。

称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达n个顾客的概率服从泊松分布。

服务的规律主要讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，参数为，即

由于v 的均值为，即平均对每位顾客的服务时间为，可得参数的含义：服务率，即单位时间平均服务完人。5