[科普中国]-转移概率矩阵

简介

转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于1，各元素用概率表示，在一定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时，矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P表示k步转移概率矩阵。1

转移概率矩阵的特征转移概率矩阵有以下特征：

（1），

（2），即矩阵中每一行转移概率之和等于1。

转移概率矩阵的分析所谓矩阵，是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来，以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵：

这是一个由m行n列的数构成的矩阵， 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素， 矩阵中的行数与列数可以相等，也可以不等。当它们相等时，矩阵就是一个方阵。

由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率：

转移概率与转移概率矩阵假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏； 使用中华牙膏的7000人中， 有70%的人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表－1所示的统计表。

表－1 两种牙膏之间的转移概率

上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵，

称为转移概率矩阵。可以看出， 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。 在本例中，其经济意义是：使用某种牙膏的人与将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。

用转移概率矩阵预测市场占有率的变化：

有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（1月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：

即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。

假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：

这里称为二步转移矩阵，也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地， k步转移概率矩阵

正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明，k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。2