[科普中国]-狄拉克符号

基本介绍

狄拉克（Dirac）符号（也叫“bra-ket 符号”）于1939年被狄拉克提出，他将“括号（bracket）”这个单词一分为二，分别代表这个符号的左右两部分，左边是“bra”，即为左矢；右边是“ket”，即为右矢。1

把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|α>表示态矢，左矢 右矢，表示一个右矢，复数c1及c2，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与标量乘法的定义有：

（2）给定任何右矢|Ψ>、左矢，还有复数c1及c2，根据内积的性质（其中c*代表c的复数共轭），则有：

和对偶。

（4）给定任何左矢，内积的一个公理性质指出：

量子力学量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一。量子力学是在本世纪20年代中期建立起来的。19世纪末，人们发现大量的物理实验事实不能再用经典物理学中能量是完全连续性的理论来解释。1900年，德国物理学家普朗克提出了能量子假说，用量子化即能量具有的不连续性，解释了黑体辐射能量分布问题。1905年，爱因斯坦在此基础上提出了光量子假说，第一次揭示出光具有波粒二象性，成功地解释了光电效应问题。1906年，爱因斯坦又用量子理论解决了低温固体比热问题。接着，丹麦物理学家玻尔提出了解释原子光谱线的原子结构的量子论，并经德国物理学家索末菲等人所修正和推广。1924年，德国物理学家德布罗意在爱因斯坦光量子假说启示下，提出了物质波假说，指出一切实物粒子也同光一样都具有波粒二象性。1925年，德国物理学家海森堡和玻恩、约尔丹以矩阵的数学形式描述微观粒子的运动规律，建立了矩阵力学。接着，奥地利物理学家薛定谔以波动方程的形式描述微观粒子的运动规律，建立了波动力学。不久，薛定谔证明，这两种力学完全等效，这就是今天的量子力学。量子力学用波函数描写微观粒子的运动状态，以薛定谔方程确定波函数的变化规律。应用量子力学的方法解决原子分子范围内的问题时，得出了与实验相符的结果;量子力学用于宏观物体或质量、能量相当大的粒子时，也能得出与经典力学一样的结论。因此，量子力学的建立大大促进了原子物理、固体物理和原子核物理学的发展，并推动了半导体、激光和超导等新技术的应用。它标志着人类认识已从宏观领域深入到微观领域。量子力学为哲学研究的发展开辟了新的领域，它向人们提出了一系列新的哲学课题，诸如微观客体的存在特征、微观世界是否存在因果关系、主客体在原则上是否不可分、主客体之间的互补问题等等。深入和正确地回答这些问题，无疑将会推动马克思主义哲学的深入发展。5

希尔伯特空间希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。对希尔伯特空间及作用在希尔伯特空间上的算子的研究是泛函分析的重要组成部分。

设H是一个实的线性空间，如果对H中的任何两个向量x和y，都对应着一个实数，记为(x，y)、满足下列条件：

①对H中的任何两个向量x，y，有(x，y)=(y，x);

②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);

③对H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要条件是x=0。则(x，y)称为是H上的一个内积，而H称为内积空间。

如果定义‖x‖=，则在‖0‖下，H构成一个线性赋范空间。

完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间的概念还可以推广到复线性空间上。

欧几里德空间是希尔伯特空间的一个重要特例，希尔伯特空间的另一个最重要的特例是L2(G)，设G是n维欧几里德空间中的一个有界闭域， 定义在G上的满足⨜G|f(x)|2dx