[科普中国]-动量算符

概念

微观粒子的动量为 ，其中， 为其分量。在量子力学中，我们对粒子的动量进行量子化，用动量算符表达粒子的动量，即

这等效于动量分量的量子化：

而动量的分量算符为

则动量的矢量算符为

1

动量算符的本征方程对于动量算符 ，其本征方程为

类似于对位置算符本征方程的分离变量处理，我们对动量算符的本征方程也进行分离变量。令本征值为

属于该本征值的本征态为

将式、式和式代人式，我们获得动量的各分量算符的本征方程

注意到式中动量分量算符的数学形式，各分量算符的本征方程又可改写成

对上式中的每个分量方程进行积分运算，可得动量算符的三个分量算符的本征态

式中 和 为待定的积分常量。于是动量算符 的本征态为

式中 为归一化常数。显然，动量算符的本征态是平面波，本征值连续取值，构成连续谱。1

动量本征波函数的“归一化”按波函数的归一化思想，我们对 作内积运算

内积的结果是动量本征波函数不能被归一化。上述的积分在通常的意义下是发散的，这一情况在量子理论中对连续谱的情形具有普遍性：连续谱的本征态不是平方可积的。

实际上，在通常意义下连续谱的本征态不能归一化到1，而是归一化成 函数。这是因为连续谱的本征函数满足以下的积分：

通过稍复杂的数学处理，可知

于是

1

坐标算符与动量算符的对易式将坐标算符和动量算符代入算符的对易式中：

然后，将上式作用到一个任意的态矢 上：

由于 是任意的态矢，故恒有

类似的，我们还可以得到

上面对易式可统一写成

其中

必须指出，在量子理论中许多力学量的算符都是由坐标算符和动量算符组合而成。于是，许多不同的力学量算符之间的对易关系也都涉及 这一对易式。所以，微观粒子的坐标算符与动量算符的对易式是量子理论中最基本和最重要的对易式。1

动量算符的物理意义现在我们来说明动量算符的物理意义．为简单起见，可以只考虑一维运动．设整个系统沿x方向平移一段小距离a（如下图）．这时原来的态 变成了另一个态 ．两个态之间显然有下面的关系：

因为距离a很小，可以作泰勒展开：

在a是无穷小的情况下，精确到一级项 ，有

状态 平移后变为另一个态．根据算符的定义，这个新态等于某个算符作用在原来态上的结果．这个算符可以用动量算符表达出来，即为 ．特别在无穷小移动的情况下，动量算符纯粹反映了系统空间平移的特性，所以有时也称它为平移无穷小算符．这种看法和经典力学里理解动量的精神是一致的．在经典力学里，动量是反映粒子空间位置变化的趋势或能力的．

推广到三维空间，状态 经平移矢量a后变为

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