[科普中国]-重整化群

概念

重整化群是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

基本原理以量子电动力学为例。利用Feynman展开的微扰论方法，我们计算一个物理量，比如电子之间的散射率，会得到一个按照耦合常数 展开的级数，每一项的系数是粒子动量 的积分式。这样的积分式会出现紫外发散，即 允许的取值可以到无穷大时，系数趋向于正或负无穷，这使得整个理论失去意义。

为了克服这一困难，人们引入了重整化方法。用这个方法，我们首先对所有的积分作紫外截断，从而得到有限结果。显然，这样得到的展开系数将与截断有关。但是，在连续场论中这个截断是人为引入的，物理上并不存在。为了解决这个问题，对于任意，我们要求可以重新定义一个相应的耦合常数，使得计算最后给出的物理量与无关。在量子电动力学和其他可重整的理论中，这是可以做到的。换句话说，对于微扰展开的任意级次，可以定义该系统的一系列和截断相关的参数，使得系统在动量远小于时的物理性质和无关。由于实际的最后要取为无穷大，也就是说，系统在任意有限动量上的物理性质和无关，于是，我们要求理论具有这样的不变性：当改变一个比例时，耦合常数将作相应的变化，而最后给出的结果将是与无关的。这也就导致了重整化群的想法。也就是说，对于改变一个比例这种变换的全体有一个类似群的结构，即满足组合律；先改变比例为，再接着改变比例为得到的耦合常数等于作一次改变比例为得到的耦合常数。但严格说起来，这并不是一个群，而是一个所谓的半群。原因是在上述定义下，我们无法定义逆变换。

现在，我们把写成

并令

其中是一个固定的数。如上所述，为使得最后结果有物理意义，我们要让耦合常数也作相应的改变，即也随参量改变。并令

由此，我们可以定义所谓函数。它是重整化群理论中最重要的一个物理量，决定了相应的相互作用在整个理论框架下所起的作用。1